1. Vamos estudar a concavidade de uma função, que indica se a curva está "para cima" ou "para baixo" em um intervalo. 2. A concavidade é determinada pela segunda derivada da função, $f''(x)$. 3. Se $f''(x) > 0$ para um intervalo, a função é côncava para cima nesse intervalo. 4. Se $f''(x) < 0$ para um intervalo, a função é côncava para baixo nesse intervalo. 5. Pontos onde $f''(x) = 0$ e a concavidade muda são chamados pontos de inflexão. 6. Para estudar a concavidade, siga estes passos: 1. Calcule a primeira derivada $f'(x)$ da função. 2. Calcule a segunda derivada $f''(x)$. 3. Encontre os valores de $x$ onde $f''(x) = 0$ ou $f''(x)$ não está definida. 4. Determine o sinal de $f''(x)$ em cada intervalo definido pelos pontos encontrados. 5. Conclua onde a função é côncava para cima ou para baixo e identifique pontos de inflexão. 7. Exemplo: para $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ 1. $f'(x) = 3x^2 - 6x$ 2. $f''(x) = 6x - 6$ 3. $f''(x) = 0 \Rightarrow 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$ 4. Para $x < 1$, $f''(x) = 6x - 6 < 0$ (côncava para baixo) 5. Para $x > 1$, $f''(x) = 6x - 6 > 0$ (côncava para cima) 6. Portanto, $x=1$ é ponto de inflexão. Este é o quadro básico para o estudo da concavidade.