1. **Planteamiento del problema:** Encontrar los extremos locales de la función $$y = \frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} + 12x + 3$$. 2. **Derivada primera:** Para hallar los extremos locales, calculamos la derivada primera: $$y' = x^2 - 7x + 12$$ 3. **Encontrar puntos críticos:** Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$x^2 - 7x + 12 = 0$$ 4. **Factorización:** Factorizamos la ecuación cuadrática: $$ (x - 3)(x - 4) = 0 $$ 5. **Soluciones:** De aquí obtenemos: $$x = 3 \quad \text{o} \quad x = 4$$ 6. **Prueba de la segunda derivada:** La segunda derivada es: $$y'' = 2x - 7$$ Evaluamos en los puntos críticos: - Para $$x=3$$: $$y''(3) = 2(3) - 7 = 6 - 7 = -1 < 0$$, indica un máximo local. - Para $$x=4$$: $$y''(4) = 2(4) - 7 = 8 - 7 = 1 > 0$$, indica un mínimo local. 7. **Calcular valores de la función en los extremos:** - En $$x=3$$: $$y(3) = \frac{3^3}{3} - \frac{7 \cdot 3^2}{2} + 12 \cdot 3 + 3 = 9 - \frac{63}{2} + 36 + 3 = 48 - \frac{63}{2} = \frac{96 - 63}{2} = \frac{33}{2}$$ - En $$x=4$$: $$y(4) = \frac{4^3}{3} - \frac{7 \cdot 4^2}{2} + 12 \cdot 4 + 3 = \frac{64}{3} - 56 + 48 + 3 = \frac{64}{3} - 5 = \frac{64 - 15}{3} = \frac{49}{3}$$ 8. **Conclusión:** - Máximo local en $$\left(3, \frac{33}{2}\right)$$. - Mínimo local en $$\left(4, \frac{49}{3}\right)$$. 9. **Comportamiento de la función:** Crece en $$(-\infty, 3)$$, decrece en $$(3,4)$$ y vuelve a crecer en $$(4, \infty)$$.