1. Planteamos el problema: calcular la integral $$\int (x^2 + 5x + 6) \cos 2x \, dx$$ usando integración por partes. 2. Recordemos la fórmula de integración por partes: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ donde elegimos $u$ y $dv$ para simplificar la integral. 3. Elegimos $u = x^2 + 5x + 6$ porque su derivada es más simple, y $dv = \cos 2x \, dx$ porque podemos integrar fácilmente. 4. Calculamos $du$ y $v$: $$du = (2x + 5) \, dx$$ $$v = \int \cos 2x \, dx = \frac{\sin 2x}{2}$$ 5. Aplicamos la fórmula: $$\int (x^2 + 5x + 6) \cos 2x \, dx = (x^2 + 5x + 6) \cdot \frac{\sin 2x}{2} - \int \frac{\sin 2x}{2} (2x + 5) \, dx$$ 6. Simplificamos la integral restante: $$= \frac{(x^2 + 5x + 6) \sin 2x}{2} - \frac{1}{2} \int (2x + 5) \sin 2x \, dx$$ 7. Ahora calculamos $$\int (2x + 5) \sin 2x \, dx$$ usando integración por partes otra vez. 8. Elegimos para esta integral: $$u = 2x + 5 \Rightarrow du = 2 \, dx$$ $$dv = \sin 2x \, dx \Rightarrow v = -\frac{\cos 2x}{2}$$ 9. Aplicamos la fórmula: $$\int (2x + 5) \sin 2x \, dx = (2x + 5) \cdot \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) - \int -\frac{\cos 2x}{2} \cdot 2 \, dx$$ 10. Simplificamos: $$= -\frac{(2x + 5) \cos 2x}{2} + \int \cos 2x \, dx$$ 11. Calculamos la integral restante: $$\int \cos 2x \, dx = \frac{\sin 2x}{2}$$ 12. Por lo tanto: $$\int (2x + 5) \sin 2x \, dx = -\frac{(2x + 5) \cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{2}$$ 13. Sustituimos en la expresión original: $$\int (x^2 + 5x + 6) \cos 2x \, dx = \frac{(x^2 + 5x + 6) \sin 2x}{2} - \frac{1}{2} \left(-\frac{(2x + 5) \cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{2}\right) + C$$ 14. Simplificamos: $$= \frac{(x^2 + 5x + 6) \sin 2x}{2} + \frac{(2x + 5) \cos 2x}{4} - \frac{\sin 2x}{4} + C$$ 15. Finalmente, agrupamos términos: $$= \frac{(x^2 + 5x + 6) \sin 2x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{(2x + 5) \cos 2x}{4} + C$$ Este es el resultado de la integral por partes.