1. **Planteamiento del problema:** Se tienen tres funciones no negativas $f$, $g$, $h$ tales que $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ para $x \geq 1$. Se analizan las afirmaciones sobre la convergencia o divergencia de las integrales impropias $$\int_1^\infty f(x)\,dx, \quad \int_1^\infty g(x)\,dx, \quad \int_1^\infty h(x)\,dx.$$ 2. **Regla importante:** Si $f(x) \leq g(x)$ para $x \geq 1$ y ambas funciones son no negativas, entonces: - Si $\int_1^\infty g(x)\,dx$ converge, entonces $\int_1^\infty f(x)\,dx$ también converge. - Si $\int_1^\infty f(x)\,dx$ diverge, entonces $\int_1^\infty g(x)\,dx$ también diverge. 3. **Análisis de cada opción:** - Opción 1: "Si $\int_1^\infty h(x)\,dx$ diverge, $\int_1^\infty f(x)\,dx$ diverge." Esto no es necesariamente cierto porque $f(x) \leq h(x)$, pero la divergencia de la integral de $h$ no implica la divergencia de la integral de $f$. Por ejemplo, $f$ puede ser mucho menor y converger. - Opción 2: "Si $\int_1^\infty f(x)\,dx$ converge, $\int_1^\infty h(x)\,dx$ converge." Esto no es necesariamente cierto porque $h(x) \geq f(x)$, pero $h$ puede divergir aunque $f$ converja. - Opción 3: "Si $\int_1^\infty g(x)\,dx$ converge, $\int_1^\infty f(x)\,dx$ converge." Esto es cierto por la regla de comparación, ya que $f(x) \leq g(x)$. - Opción 4: "Si $\int_1^\infty h(x)\,dx$ converge, $\int_1^\infty g(x)\,dx$ converge." Esto es cierto porque $g(x) \leq h(x)$. 4. **Conclusión:** La única afirmación que no siempre es correcta es la opción 1. **Respuesta final:** La opción incorrecta es: "Si $\int_1^\infty h(x)\,dx$ diverge, $\int_1^\infty f(x)\,dx$ diverge."