1. El problema es calcular la integral definida $$I = \int_1^4 (x^2 + 4x + 5) \, dx$$. 2. La fórmula para la integral definida es $$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$ donde $F(x)$ es la antiderivada de $f(x)$. 3. Encontramos la antiderivada de $f(x) = x^2 + 4x + 5$: $$\int (x^2 + 4x + 5) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 4x \, dx + \int 5 \, dx$$ $$= \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 5x + C$$ 4. Evaluamos la antiderivada en los límites 4 y 1: $$F(4) = \frac{4^3}{3} + 2(4^2) + 5(4) = \frac{64}{3} + 32 + 20 = \frac{64}{3} + 52$$ $$F(1) = \frac{1^3}{3} + 2(1^2) + 5(1) = \frac{1}{3} + 2 + 5 = \frac{1}{3} + 7$$ 5. Calculamos la diferencia: $$I = F(4) - F(1) = \left(\frac{64}{3} + 52\right) - \left(\frac{1}{3} + 7\right) = \frac{64}{3} - \frac{1}{3} + 52 - 7 = \frac{63}{3} + 45 = 21 + 45 = 66$$ 6. Por lo tanto, el valor de la integral definida es $$\boxed{66}$$.