1. El problema es calcular la integral doble $$\int_0^1 \int_y^{\sqrt{y}} x y^2 \, dx \, dy$$. 2. La fórmula para una integral doble iterada es $$\int_a^b \int_{g_1(y)}^{g_2(y)} f(x,y) \, dx \, dy$$ donde se integra primero respecto a $x$ y luego respecto a $y$. 3. En este caso, $f(x,y) = x y^2$, el límite inferior de $x$ es $y$ y el límite superior es $\sqrt{y}$, con $y$ entre 0 y 1. 4. Primero integramos respecto a $x$: $$\int_y^{\sqrt{y}} x y^2 \, dx = y^2 \int_y^{\sqrt{y}} x \, dx = y^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_y^{\sqrt{y}} = y^2 \left( \frac{(\sqrt{y})^2}{2} - \frac{y^2}{2} \right) = y^2 \left( \frac{y}{2} - \frac{y^2}{2} \right) = \frac{y^2}{2} (y - y^2) = \frac{y^3 - y^4}{2}$$ 5. Ahora integramos respecto a $y$: $$\int_0^1 \frac{y^3 - y^4}{2} \, dy = \frac{1}{2} \int_0^1 (y^3 - y^4) \, dy = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^4}{4} - \frac{y^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{5}{20} - \frac{4}{20} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{40}$$ 6. Por lo tanto, el valor de la integral doble es $$\boxed{\frac{1}{40}}$$.