Question: Define una integral doble con ejemplo
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos entender qué es una integral doble y ver un ejemplo concreto.
2. **Definición:**
Una integral doble se usa para calcular el volumen bajo una superficie en un área del plano xy.
Se expresa como $$\iint_D f(x,y)\, dA$$ donde $D$ es la región en el plano xy y $f(x,y)$ es la función a integrar.
3. **Ejemplo:**
Calculemos la integral doble de $f(x,y) = x + y$ sobre el rectángulo $D = \{(x,y) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2\}$.
4. **Fórmula para integrales dobles en rectángulos:**
$$\iint_D f(x,y)\, dA = \int_0^1 \int_0^2 (x + y) \, dy \, dx$$
5. **Cálculo de la integral interna:**
$$\int_0^2 (x + y) \, dy = \int_0^2 x \, dy + \int_0^2 y \, dy = x \cdot y \Big|_0^2 + \frac{y^2}{2} \Big|_0^2 = 2x + 2$$
6. **Sustitución en la integral externa:**
$$\int_0^1 (2x + 2) \, dx = \int_0^1 2x \, dx + \int_0^1 2 \, dx = \left. x^2 \right|_0^1 + \left. 2x \right|_0^1 = 1 + 2 = 3$$
7. **Respuesta final:**
El valor de la integral doble es $$3$$.
Esto representa el volumen bajo la superficie $z = x + y$ sobre el rectángulo dado.