1. Vamos calcular o integral duplo da função $F(x,y) = x^2 y^2$ sobre a região $D$ limitada pelas curvas $xy=1$, $xy=2$, $y=x$ e $y=4x$. 2. Primeiro, identificamos a região $D$ no plano $xy$: - As curvas $xy=1$ e $xy=2$ são hipérboles. - As linhas $y=x$ e $y=4x$ são retas que delimitam a região angular. 3. Para facilitar a integração, fazemos a mudança de variáveis: $$u = xy, \quad v = \frac{y}{x}$$ Assim, as curvas se tornam: - $u=1$ e $u=2$ (limites para $u$) - $v=1$ e $v=4$ (limites para $v$) 4. Expressamos $x$ e $y$ em termos de $u$ e $v$: $$y = vx \Rightarrow u = x y = x (v x) = v x^2 \Rightarrow x = \sqrt{\frac{u}{v}}, \quad y = v x = v \sqrt{\frac{u}{v}} = \sqrt{u v}$$ 5. Calculamos o Jacobiano da transformação: $$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$$ Calculando as derivadas: $$\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{u v}}, \quad \frac{\partial x}{\partial v} = -\frac{1}{2} \frac{\sqrt{u}}{v^{3/2}}$$ $$\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{v}}{\sqrt{u}}, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{v}}$$ 6. Calculando o determinante: $$J = \left(\frac{1}{2 \sqrt{u v}}\right) \left(\frac{1}{2} \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{v}}\right) - \left(-\frac{1}{2} \frac{\sqrt{u}}{v^{3/2}}\right) \left(\frac{1}{2} \frac{\sqrt{v}}{\sqrt{u}}\right) = \frac{1}{4 v} + \frac{1}{4 v} = \frac{1}{2 v}$$ 7. A integral dupla em $x,y$ se transforma em integral dupla em $u,v$: $$\iint_D x^2 y^2 \, dy \, dx = \iint_{D'} (x^2 y^2) |J| \, du \, dv$$ 8. Substituímos $x^2 y^2$ em termos de $u,v$: $$x^2 y^2 = (x^2)(y^2) = \left(\frac{u}{v}\right)(u v) = u^2$$ 9. Portanto, a integral fica: $$\int_{v=1}^4 \int_{u=1}^2 u^2 \cdot \frac{1}{2 v} \, du \, dv = \int_1^4 \frac{1}{2 v} \left( \int_1^2 u^2 \, du \right) dv$$ 10. Calculamos a integral interna: $$\int_1^2 u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$ 11. A integral externa é: $$\int_1^4 \frac{1}{2 v} \cdot \frac{7}{3} \, dv = \frac{7}{6} \int_1^4 \frac{1}{v} \, dv = \frac{7}{6} [\ln v]_1^4 = \frac{7}{6} \ln 4$$ 12. Portanto, o valor do integral duplo é: $$\boxed{\frac{7}{6} \ln 4}$$