1. El problema es calcular la integral de $x^3 e^{x^2} \, dx$. 2. Para resolver esta integral, usaremos el método de sustitución, que es útil cuando una parte de la función es la derivada de otra. 3. Definimos la sustitución: sea $u = x^2$, entonces $du = 2x \, dx$ o $\frac{du}{2} = x \, dx$. 4. Reescribimos la integral en términos de $u$: $$\int x^3 e^{x^2} \, dx = \int x^2 \cdot x e^{x^2} \, dx = \int x^2 e^u \cdot x \, dx$$ 5. Sabemos que $x^2 = u$, y $x \, dx = \frac{du}{2}$, entonces: $$\int u e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u e^u \, du$$ 6. Ahora integramos $\int u e^u \, du$ usando integración por partes: Sea $v = u$, $dw = e^u du$, entonces $dv = du$, $w = e^u$. 7. Aplicando integración por partes: $$\int u e^u du = u e^u - \int e^u du = u e^u - e^u + C = e^u (u - 1) + C$$ 8. Sustituyendo de nuevo: $$\frac{1}{2} \int u e^u du = \frac{1}{2} e^u (u - 1) + C = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C$$ 9. Por lo tanto, la integral original es: $$\int x^3 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C$$