1. El problema es calcular la integral $$\int \frac{2x^2}{x^2+4} \, dx$$. 2. Para resolver esta integral, usaremos la técnica de dividir el numerador para simplificar la expresión. 3. Observamos que $$2x^2 = 2(x^2+4) - 8$$, por lo que podemos reescribir la integral como: $$\int \frac{2x^2}{x^2+4} \, dx = \int \frac{2(x^2+4) - 8}{x^2+4} \, dx$$ 4. Separando la integral: $$= \int \frac{2(x^2+4)}{x^2+4} \, dx - \int \frac{8}{x^2+4} \, dx = \int 2 \, dx - 8 \int \frac{1}{x^2+4} \, dx$$ 5. La primera integral es sencilla: $$\int 2 \, dx = 2x + C_1$$ 6. La segunda integral es una integral estándar: $$\int \frac{1}{x^2+a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$$ Aquí, $$a^2 = 4$$, entonces $$a = 2$$. 7. Por lo tanto: $$-8 \int \frac{1}{x^2+4} \, dx = -8 \cdot \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C_2 = -4 \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C_2$$ 8. Sumando ambas partes y agrupando constantes: $$\int \frac{2x^2}{x^2+4} \, dx = 2x - 4 \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C$$ Respuesta final: $$2x - 4 \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C$$