1. Planteamos el problema: calcular la integral $$\int \frac{x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 2}{(x - 1)(x^2 + 2)^2} \, dx$$. 2. Usamos fracciones parciales para descomponer la función racional. La forma general es: $$\frac{x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 2}{(x - 1)(x^2 + 2)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2} + \frac{Dx + E}{(x^2 + 2)^2}$$ 3. Multiplicamos ambos lados por el denominador común para eliminar fracciones: $$x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 2 = A(x^2 + 2)^2 + (Bx + C)(x - 1)(x^2 + 2) + (Dx + E)(x - 1)$$ 4. Expandimos y simplificamos cada término: - $$A(x^2 + 2)^2 = A(x^4 + 4x^2 + 4)$$ - $$ (Bx + C)(x - 1)(x^2 + 2) = (Bx + C)(x^3 + 2x - x^2 - 2) = (Bx + C)(x^3 - x^2 + 2x - 2)$$ - $$ (Dx + E)(x - 1) = Dx^2 - Dx + Ex - E$$ 5. Expandimos completamente: $$ (Bx + C)(x^3 - x^2 + 2x - 2) = Bx^4 - Bx^3 + 2Bx^2 - 2Bx + Cx^3 - Cx^2 + 2Cx - 2C $$ 6. Sumamos todos los términos: $$x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 2 = A x^4 + 4A x^2 + 4A + B x^4 - B x^3 + 2B x^2 - 2B x + C x^3 - C x^2 + 2C x - 2C + D x^2 - D x + E x - E$$ 7. Agrupamos por potencias de $x$: - Coeficiente de $x^4$: $A + B$ - Coeficiente de $x^3$: $-B + C$ - Coeficiente de $x^2$: $4A + 2B - C + D$ - Coeficiente de $x$: $-2B + 2C - D + E$ - Término independiente: $4A - 2C - E$ 8. Igualamos coeficientes con el polinomio original: $$\begin{cases} A + B = 1 \\ -B + C = -1 \\ 4A + 2B - C + D = 2 \\ -2B + 2C - D + E = -1 \\ 4A - 2C - E = 2 \end{cases}$$ 9. Resolvemos el sistema: - De la primera: $B = 1 - A$ - De la segunda: $C = -1 + B = -1 + 1 - A = -A$ Sustituimos en la tercera: $$4A + 2(1 - A) - (-A) + D = 2 \Rightarrow 4A + 2 - 2A + A + D = 2 \Rightarrow 3A + D + 2 = 2 \Rightarrow D = -3A$$ En la cuarta: $$-2(1 - A) + 2(-A) - (-3A) + E = -1 \Rightarrow -2 + 2A - 2A + 3A + E = -1 \Rightarrow -2 + 3A + E = -1 \Rightarrow E = 1 - 3A$$ En la quinta: $$4A - 2(-A) - (1 - 3A) = 2 \Rightarrow 4A + 2A - 1 + 3A = 2 \Rightarrow 9A - 1 = 2 \Rightarrow 9A = 3 \Rightarrow A = \frac{1}{3}$$ Entonces: $$B = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}, \quad C = -\frac{1}{3}, \quad D = -3 \times \frac{1}{3} = -1, \quad E = 1 - 3 \times \frac{1}{3} = 0$$ 10. La descomposición es: $$\frac{1/3}{x-1} + \frac{(2/3)x - 1/3}{x^2 + 2} + \frac{-x}{(x^2 + 2)^2}$$ 11. Integramos término a término: $$\int \frac{1/3}{x-1} dx = \frac{1}{3} \ln|x-1| + C_1$$ Para $$\int \frac{(2/3)x - 1/3}{x^2 + 2} dx$$ separamos: $$\frac{2}{3} \int \frac{x}{x^2 + 2} dx - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2 + 2} dx$$ - Para $$\int \frac{x}{x^2 + 2} dx$$ usamos sustitución $u = x^2 + 2$, $du = 2x dx$: $$\int \frac{x}{x^2 + 2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 2| + C_2$$ - Para $$\int \frac{1}{x^2 + 2} dx$$ usamos fórmula estándar: $$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$$ con $a = \sqrt{2}$: $$\int \frac{1}{x^2 + 2} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + C_3$$ Entonces: $$\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \ln|x^2 + 2| - \frac{1}{3} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3} \ln|x^2 + 2| - \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}}$$ 12. Finalmente, integramos $$\int \frac{-x}{(x^2 + 2)^2} dx$$: Usamos sustitución $u = x^2 + 2$, $du = 2x dx$, entonces: $$\int \frac{-x}{(x^2 + 2)^2} dx = -\frac{1}{2} \int u^{-2} du = -\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{u}\right) + C_4 = \frac{1}{2(x^2 + 2)} + C_4$$ 13. Sumamos todas las partes: $$\int \frac{x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 2}{(x - 1)(x^2 + 2)^2} dx = \frac{1}{3} \ln|x-1| + \frac{1}{3} \ln|x^2 + 2| - \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2(x^2 + 2)} + C$$