1. Planteamos el problema: calcular la integral impropia $$\int_{-3}^{\infty} \frac{x^{2}}{(x^{2}-4)^{2}} \, dx$$. 2. Observamos que el integrando tiene singularidades en $x=\pm 2$ porque el denominador se anula ahí. Como el intervalo de integración es desde $-3$ hasta $\infty$, y $-3 < -2 < \infty$, la integral es impropia debido a la discontinuidad en $x=-2$ y al límite infinito. 3. Por lo tanto, dividimos la integral en dos partes para manejar la discontinuidad y el infinito: $$\int_{-3}^{\infty} = \int_{-3}^{-2} + \int_{-2}^{\infty}$$ 4. Definimos los límites de integración con límites laterales para la discontinuidad: $$I_1 = \lim_{a \to -2^{-}} \int_{-3}^{a} \frac{x^{2}}{(x^{2}-4)^{2}} \, dx$$ $$I_2 = \lim_{b \to -2^{+}} \int_{b}^{\infty} \frac{x^{2}}{(x^{2}-4)^{2}} \, dx$$ 5. Para integrar, usamos la sustitución parcial o descomposición en fracciones parciales. Primero, notamos que: $$\frac{x^{2}}{(x^{2}-4)^{2}} = \frac{x^{2}}{(x-2)^{2}(x+2)^{2}}$$ 6. La descomposición en fracciones parciales para esta expresión es: $$\frac{x^{2}}{(x-2)^{2}(x+2)^{2}} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{(x-2)^{2}} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{(x+2)^{2}}$$ 7. Multiplicamos ambos lados por $(x-2)^{2}(x+2)^{2}$ y comparamos coeficientes para encontrar $A,B,C,D$: $$x^{2} = A(x-2)(x+2)^{2} + B(x+2)^{2} + C(x+2)(x-2)^{2} + D(x-2)^{2}$$ 8. Evaluamos en $x=2$ para encontrar $B$: $$2^{2} = B(2+2)^{2} \Rightarrow 4 = B(4)^{2} = 16B \Rightarrow B = \frac{1}{4}$$ 9. Evaluamos en $x=-2$ para encontrar $D$: $$(-2)^{2} = D(-2-2)^{2} \Rightarrow 4 = D(-4)^{2} = 16D \Rightarrow D = \frac{1}{4}$$ 10. Para encontrar $A$ y $C$, expandimos y comparamos coeficientes o evaluamos en otros valores. Evaluamos en $x=0$: $$0 = A(-2)(2)^{2} + B(2)^{2} + C(2)(-2)^{2} + D(-2)^{2}$$ $$0 = A(-2)(4) + \frac{1}{4}(4) + C(2)(4) + \frac{1}{4}(4)$$ $$0 = -8A + 1 + 8C + 1$$ $$0 = -8A + 8C + 2$$ 11. Evaluamos en $x=1$: $$1^{2} = A(-1)(3)^{2} + B(3)^{2} + C(3)(-1)^{2} + D(-1)^{2}$$ $$1 = A(-1)(9) + \frac{1}{4}(9) + C(3)(1) + \frac{1}{4}(1)$$ $$1 = -9A + \frac{9}{4} + 3C + \frac{1}{4}$$ $$1 = -9A + 3C + \frac{10}{4} = -9A + 3C + 2.5$$ 12. Resolvemos el sistema: De la ecuación 10: $$-8A + 8C = -2$$ De la ecuación 11: $$-9A + 3C = 1 - 2.5 = -1.5$$ Multiplicamos la segunda por 8 y la primera por 3 para eliminar $C$: $$-72A + 24C = -12$$ $$-24A + 24C = -6$$ Restamos: $$(-72A + 24C) - (-24A + 24C) = -12 - (-6)$$ $$-48A = -6 \Rightarrow A = \frac{1}{8}$$ Sustituimos $A$ en la primera: $$-8(\frac{1}{8}) + 8C = -2 \Rightarrow -1 + 8C = -2 \Rightarrow 8C = -1 \Rightarrow C = -\frac{1}{8}$$ 13. Por lo tanto: $$\frac{x^{2}}{(x^{2}-4)^{2}} = \frac{1/8}{x-2} + \frac{1/4}{(x-2)^{2}} - \frac{1/8}{x+2} + \frac{1/4}{(x+2)^{2}}$$ 14. Integramos término a término: $$\int \frac{1/8}{x-2} dx = \frac{1}{8} \ln|x-2| + C$$ $$\int \frac{1/4}{(x-2)^{2}} dx = \frac{1}{4} \int (x-2)^{-2} dx = \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{x-2}\right) + C = -\frac{1}{4(x-2)} + C$$ $$\int -\frac{1/8}{x+2} dx = -\frac{1}{8} \ln|x+2| + C$$ $$\int \frac{1/4}{(x+2)^{2}} dx = \frac{1}{4} \int (x+2)^{-2} dx = -\frac{1}{4(x+2)} + C$$ 15. Sumando todo: $$\int \frac{x^{2}}{(x^{2}-4)^{2}} dx = \frac{1}{8} \ln|x-2| - \frac{1}{4(x-2)} - \frac{1}{8} \ln|x+2| - \frac{1}{4(x+2)} + C$$ 16. Ahora evaluamos los límites para $I_1$: $$I_1 = \lim_{a \to -2^{-}} \left[ \frac{1}{8} \ln|x-2| - \frac{1}{4(x-2)} - \frac{1}{8} \ln|x+2| - \frac{1}{4(x+2)} \right]_{-3}^{a}$$ 17. Evaluamos en $x=a$ cuando $a \to -2^{-}$: - $\ln|a-2|$ es finito porque $a-2 \to -4$ (negativo, pero valor absoluto 4) - $\ln|a+2|$ diverge a $-\infty$ porque $a+2 \to 0^{-}$ - $\frac{1}{a-2}$ es finito - $\frac{1}{a+2}$ diverge a $-\infty$ 18. La divergencia en $\ln|a+2|$ y $\frac{1}{a+2}$ indica que $I_1$ diverge. 19. Por lo tanto, la integral original $$\int_{-3}^{\infty} \frac{x^{2}}{(x^{2}-4)^{2}} dx$$ no converge debido a la discontinuidad en $x=-2$. 20. Concluimos que la integral es divergente y no tiene un valor finito. **Respuesta final:** La integral $$\int_{-3}^{\infty} \frac{x^{2}}{(x^{2}-4)^{2}} dx$$ diverge y no converge a un valor finito.