1. Planteamos el problema: calcular la integral impropia $$\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2 + 9} \, dx$$. 2. Recordamos la fórmula para integrales del tipo $$\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$$ donde $$a > 0$$. 3. En nuestro caso, $$a = 3$$, entonces la integral indefinida es: $$\int \frac{1}{x^2 + 9} \, dx = \frac{1}{3} \arctan\left(\frac{x}{3}\right) + C$$. 4. Evaluamos la integral impropia como límite: $$\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2 + 9} \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_0^t \frac{1}{x^2 + 9} \, dx = \lim_{t \to +\infty} \left[ \frac{1}{3} \arctan\left(\frac{x}{3}\right) \right]_0^t$$. 5. Sustituimos los límites: $$= \lim_{t \to +\infty} \left( \frac{1}{3} \arctan\left(\frac{t}{3}\right) - \frac{1}{3} \arctan(0) \right) = \frac{1}{3} \lim_{t \to +\infty} \arctan\left(\frac{t}{3}\right) - 0$$. 6. Sabemos que $$\lim_{x \to +\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}$$, por lo que: $$= \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}$$. 7. Aproximando a 4 decimales: $$\frac{\pi}{6} \approx 0.5236$$. Por lo tanto, la integral impropia converge y su valor aproximado es **0.5236**.