1. **Enunciado do problema:** Calcular a integral de linha $\oint_c (3y \, dx + 4x \, dy)$ onde $c$ é a curva definida por $x^2 + y^2 = 4$. 2. **Fórmula usada:** Pelo Teorema de Green, a integral de linha $\oint_c P \, dx + Q \, dy$ sobre uma curva fechada $c$ é igual à integral dupla sobre a região $R$ delimitada por $c$ de $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ em relação à área $dA$: $$\oint_c P \, dx + Q \, dy = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$$ 3. **Identificação das funções:** $P(x,y) = 3y$ $Q(x,y) = 4x$ 4. **Cálculo das derivadas parciais:** $$\frac{\partial P}{\partial y} = 3$$ $$\frac{\partial Q}{\partial x} = 4$$ 5. **Substituição na fórmula do integrando:** $$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 4 - 3 = 1$$ 6. **Determinação da região $R$:** A região $R$ é o disco delimitado pela circunferência $x^2 + y^2 = 4$, que tem raio $r = 2$. 7. **Cálculo da integral dupla:** Como o integrando é constante 1, a integral dupla é simplesmente a área do círculo de raio 2: $$\iint_R 1 \, dA = \text{área do círculo} = \pi r^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi$$ 8. **Resposta final:** $$\boxed{4\pi}$$ A integral de linha $\oint_c (3y \, dx + 4x \, dy)$ é igual a $4\pi$.