1. Problema: Calcular la integral $$\int (2x + 1)^7 \, dx$$. 2. Fórmula y regla: Usamos la sustitución lineal. Sea $$u = 2x + 1$$, entonces $$du = 2 \, dx$$ o $$dx = \frac{du}{2}$$. 3. Sustitución en la integral: $$\int (2x + 1)^7 \, dx = \int u^7 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^7 \, du$$ 4. Integral de potencia: $$\int u^7 \, du = \frac{u^{8}}{8} + C$$ 5. Sustituyendo de nuevo: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{8}}{8} + C = \frac{u^{8}}{16} + C = \frac{(2x + 1)^8}{16} + C$$ 6. Respuesta final: $$\boxed{\int (2x + 1)^7 \, dx = \frac{(2x + 1)^8}{16} + C}$$ Explicación: Primero identificamos una función interna $$u = 2x + 1$$ cuya derivada es constante. Esto nos permite cambiar la variable y simplificar la integral a una potencia simple, que integramos usando la fórmula $$\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$$. Finalmente, regresamos a la variable original.