1. Planteamos el problema: Tenemos la función $f(x) = 3x\sqrt{2 + x^2}$ y queremos encontrar: a) La integral indefinida $\int f(x) \, dx$. b) Una primitiva de $f$, que es cualquier función cuya derivada sea $f$. c) La integral definida $\int_1^4 f(x) \, dx$. 2. Para resolver la integral indefinida, usamos la sustitución: Sea $u = 2 + x^2$, entonces $du = 2x \, dx$ o $x \, dx = \frac{du}{2}$. 3. Reescribimos la integral: $$\int 3x \sqrt{2 + x^2} \, dx = 3 \int x \sqrt{u} \, dx = 3 \int \sqrt{u} \frac{du}{2} = \frac{3}{2} \int u^{1/2} \, du$$ 4. Integramos: $$\frac{3}{2} \int u^{1/2} \, du = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = u^{3/2} + C$$ 5. Sustituimos $u$ de nuevo: $$\int f(x) \, dx = (2 + x^2)^{3/2} + C$$ 6. Por definición, una primitiva de $f$ es cualquier función que difiera en una constante, por lo que: $$F(x) = (2 + x^2)^{3/2} + C$$ 7. Para la integral definida: $$\int_1^4 f(x) \, dx = \left[(2 + x^2)^{3/2}\right]_1^4 = (2 + 4^2)^{3/2} - (2 + 1^2)^{3/2} = (2 + 16)^{3/2} - (2 + 1)^{3/2} = 18^{3/2} - 3^{3/2}$$ 8. Calculamos los valores: $$18^{3/2} = (\sqrt{18})^3 = (3\sqrt{2})^3 = 27 \cdot 2 \sqrt{2} = 54 \sqrt{2}$$ $$3^{3/2} = (\sqrt{3})^3 = 3 \sqrt{3}$$ 9. Por lo tanto: $$\int_1^4 f(x) \, dx = 54 \sqrt{2} - 3 \sqrt{3}$$ 10. Lugar geométrico: La función $f(x)$ representa una curva en el plano real, y la integral definida representa el área bajo la curva entre $x=1$ y $x=4$. Respuesta final: $$\int f(x) \, dx = (2 + x^2)^{3/2} + C$$ $$F(x) = (2 + x^2)^{3/2} + C$$ $$\int_1^4 f(x) \, dx = 54 \sqrt{2} - 3 \sqrt{3}$$