1. Planteamos el problema: calcular la integral $$\int \frac{\sqrt{x} + \sqrt{a}}{\sqrt{x}} \, dx$$ donde $a$ es una constante positiva. 2. Simplificamos la expresión dentro de la integral dividiendo cada término del numerador por $\sqrt{x}$: $$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}} = 1 + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}}$$ 3. La integral queda entonces: $$\int \left(1 + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}}\right) dx = \int 1 \, dx + \sqrt{a} \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx$$ 4. Calculamos cada integral por separado: - $$\int 1 \, dx = x + C_1$$ - Para $$\int x^{-\frac{1}{2}} \, dx$$ usamos la fórmula $$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$ con $n = -\frac{1}{2}$: $$\int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C_2 = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_2 = 2 \sqrt{x} + C_2$$ 5. Sumamos los resultados: $$x + \sqrt{a} \cdot 2 \sqrt{x} + C = x + 2 \sqrt{a} \sqrt{x} + C$$ 6. Por lo tanto, la integral resuelta es: $$\int \frac{\sqrt{x} + \sqrt{a}}{\sqrt{x}} \, dx = x + 2 \sqrt{a} \sqrt{x} + C$$ Donde $C$ es la constante de integración.