1. **Problema:** Calcular a integral dupla $$\iint_{Q} \sin(x-y) \, dx \, dy$$ onde $$Q = [0, \frac{\pi}{2}] \times [0, \frac{\pi}{2}]$$. 2. **Fórmula e regras:** A integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada: $$\iint_{Q} f(x,y) \, dx \, dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x-y) \, dx \, dy$$ 3. **Cálculo da integral interna:** $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x-y) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x-y) \, dx$$ Fazendo a substituição $$u = x - y$$, então $$du = dx$$ e os limites para $$x$$ de 0 a $$\frac{\pi}{2}$$ correspondem a $$u$$ de $$-y$$ a $$\frac{\pi}{2} - y$$: $$\int_{-y}^{\frac{\pi}{2} - y} \sin u \, du = [-\cos u]_{-y}^{\frac{\pi}{2} - y} = -\cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right) + \cos(-y)$$ Usando $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right) = \sin y$$ e $$\cos(-y) = \cos y$$: $$-\sin y + \cos y$$ 4. **Integral externa:** $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (-\sin y + \cos y) \, dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos y \, dy - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin y \, dy$$ Calculando cada uma: $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos y \, dy = [\sin y]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 - 0 = 1$$ $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin y \, dy = [-\cos y]_0^{\frac{\pi}{2}} = (-0) - (-1) = 1$$ 5. **Resultado final:** $$1 - 1 = 0$$ **Resposta:** A integral dupla é $$0$$.