1. El problema es calcular la integral $$A(S) = \int_0^{48} 2\pi r \sqrt{944 r^2 + 1} \, dr$$. 2. Esta integral corresponde a la fórmula para el área de superficie de revolución alrededor del eje $x$ o $y$, donde $r$ es la variable y la función bajo la raíz es $1 + (f'(r))^2$. 3. Para resolverla, usamos la sustitución $$u = 944 r^2 + 1$$, entonces $$du = 2 \cdot 944 r \, dr = 1888 r \, dr$$. 4. Reorganizando para $r \, dr$, tenemos $$r \, dr = \frac{du}{1888}$$. 5. La integral se transforma en: $$\int_0^{48} 2 \pi r \sqrt{944 r^2 + 1} \, dr = 2 \pi \int_{u(0)}^{u(48)} \sqrt{u} \cdot r \, dr = 2 \pi \int_1^{944 \cdot 48^2 + 1} \sqrt{u} \cdot \frac{du}{1888}$$ 6. Simplificando el factor constante: $$= \frac{2 \pi}{1888} \int_1^{944 \cdot 2304 + 1} u^{1/2} \, du = \frac{\pi}{944} \int_1^{2171137} u^{1/2} \, du$$ 7. Calculamos la integral de $u^{1/2}$: $$\int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C$$ 8. Evaluando en los límites: $$\frac{\pi}{944} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{2171137} = \frac{2 \pi}{2832} \left( 2171137^{3/2} - 1 \right)$$ 9. Calculamos $2171137^{3/2} = (2171137)^{1} \times (2171137)^{1/2} = 2171137 \times \sqrt{2171137}$. 10. Por lo tanto, la solución final es: $$A(S) = \frac{2 \pi}{2832} \left( 2171137 \sqrt{2171137} - 1 \right)$$