1. Planteamos el problema: calcular la integral $$\int \frac{2x - 5}{3x^2 - 2} \, dx$$ usando sustitución o cambio de variable. 2. Observamos que el denominador es $$3x^2 - 2$$ y su derivada es $$6x$$, que es similar al numerador $$2x - 5$$ pero no igual. 3. Intentamos la sustitución $$u = 3x^2 - 2$$, entonces $$du = 6x \, dx$$ o $$\frac{du}{6} = x \, dx$$. 4. Reescribimos el numerador $$2x - 5$$ como $$2x - 5 = 2x - 5$$, pero necesitamos expresarlo en términos de $$u$$ y $$du$$. 5. Separamos la integral en dos partes: $$\int \frac{2x}{3x^2 - 2} \, dx - \int \frac{5}{3x^2 - 2} \, dx$$ 6. Para la primera parte, usamos la sustitución: $$\int \frac{2x}{u} \, dx = \int \frac{2x}{u} \, dx$$ Sabemos que $$x \, dx = \frac{du}{6}$$, entonces: $$\int \frac{2x}{u} \, dx = \int \frac{2}{u} \cdot x \, dx = \int \frac{2}{u} \cdot \frac{du}{6} = \int \frac{2}{6u} \, du = \int \frac{1}{3u} \, du$$ 7. Esta integral es: $$\int \frac{1}{3u} \, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{3} \ln|u| + C_1 = \frac{1}{3} \ln|3x^2 - 2| + C_1$$ 8. Para la segunda parte: $$\int \frac{5}{3x^2 - 2} \, dx = 5 \int \frac{1}{3x^2 - 2} \, dx$$ 9. Esta integral no es directa con la sustitución anterior, pero podemos escribirla como: $$5 \int \frac{1}{3x^2 - 2} \, dx = \frac{5}{3} \int \frac{1}{x^2 - \frac{2}{3}} \, dx$$ 10. Esta es una integral estándar que se resuelve con la fórmula: $$\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{x - a}{x + a} \right| + C$$ 11. Aquí, $$a = \sqrt{\frac{2}{3}}$$, entonces: $$\frac{5}{3} \int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{x - a}{x + a} \right| + C_2 = \frac{5}{6 \sqrt{\frac{2}{3}}} \ln \left| \frac{x - \sqrt{\frac{2}{3}}}{x + \sqrt{\frac{2}{3}}} \right| + C_2$$ 12. Simplificamos $$\frac{5}{6 \sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{5}{6} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{5 \sqrt{6}}{12}$$. 13. Finalmente, la integral completa es: $$\int \frac{2x - 5}{3x^2 - 2} \, dx = \frac{1}{3} \ln|3x^2 - 2| - \frac{5 \sqrt{6}}{12} \ln \left| \frac{x - \sqrt{\frac{2}{3}}}{x + \sqrt{\frac{2}{3}}} \right| + C$$