Integral Triple 54E315

1. **Planteamiento del problema:** Queremos calcular la integral triple $$\iiint_D (2x + 3y + z) \, dV$$ donde $$D = [0,2] \times [0,3] \times [0,4]$$. 2. **Fórmula y reglas importantes:** La integral triple sobre un cuboide se puede calcular iterando las integrales simples en cualquier orden, ya que los límites son constantes. 3. **Primera iteración: orden $$dxdydz$$** \[ \int_0^4 \int_0^3 \int_0^2 (2x + 3y + z) \, dx \, dy \, dz \] - Integramos respecto a $$x$$: $$\int_0^2 (2x + 3y + z) \, dx = \int_0^2 2x \, dx + \int_0^2 3y \, dx + \int_0^2 z \, dx$$ $$= \left[ x^2 \right]_0^2 + 3y \cdot (2 - 0) + z \cdot (2 - 0) = 4 + 6y + 2z$$ 4. **Segunda iteración: integrar respecto a $$y$$:** $$\int_0^3 (4 + 6y + 2z) \, dy = \int_0^3 4 \, dy + \int_0^3 6y \, dy + \int_0^3 2z \, dy$$ $$= 4y \big|_0^3 + 3y^2 \big|_0^3 + 2z y \big|_0^3 = 12 + 27 + 6z = 39 + 6z$$ 5. **Tercera iteración: integrar respecto a $$z$$:** $$\int_0^4 (39 + 6z) \, dz = \int_0^4 39 \, dz + \int_0^4 6z \, dz = 39z \big|_0^4 + 3z^2 \big|_0^4 = 156 + 48 = 204$$ 6. **Verificación cambiando el orden de integración: orden $$dzdydx$$** \[ \int_0^2 \int_0^3 \int_0^4 (2x + 3y + z) \, dz \, dy \, dx \] - Integrar respecto a $$z$$: $$\int_0^4 (2x + 3y + z) \, dz = (2x + 3y)z + \frac{z^2}{2} \bigg|_0^4 = 4(2x + 3y) + 8 = 8x + 12y + 8$$ - Integrar respecto a $$y$$: $$\int_0^3 (8x + 12y + 8) \, dy = 8x y + 6 y^2 + 8 y \bigg|_0^3 = 24x + 54 + 24 = 24x + 78$$ - Integrar respecto a $$x$$: $$\int_0^2 (24x + 78) \, dx = 12 x^2 + 78 x \bigg|_0^2 = 48 + 156 = 204$$ 7. **Conclusión:** El resultado de la integral triple es $$\boxed{204}$$ y es independiente del orden de integración, como se esperaba.