1. Problema: Calcular la integral doble de $f(x,y) = 2x + 4y$ sobre el rectángulo $Q = [-2, 2] \times [2, 3]$. 2. Fórmula: La integral doble sobre un rectángulo se calcula como $$\iint_Q f(x,y) \, dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx$$ donde $Q = [a,b] \times [c,d]$. 3. Aplicamos la integral iterada: $$\int_{-2}^2 \int_2^3 (2x + 4y) \, dy \, dx$$ 4. Integramos respecto a $y$: $$\int_2^3 (2x + 4y) \, dy = \int_2^3 2x \, dy + \int_2^3 4y \, dy = 2x(y)\Big|_2^3 + 4 \frac{y^2}{2}\Big|_2^3 = 2x(3-2) + 2(9-4) = 2x + 10$$ 5. Ahora integramos respecto a $x$: $$\int_{-2}^2 (2x + 10) \, dx = \int_{-2}^2 2x \, dx + \int_{-2}^2 10 \, dx$$ 6. Calculamos cada integral: $$\int_{-2}^2 2x \, dx = \cancel{\left[ x^2 \right]_{-2}^2} = (2)^2 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0$$ $$\int_{-2}^2 10 \, dx = 10x \Big|_{-2}^2 = 10(2) - 10(-2) = 20 + 20 = 40$$ 7. Sumamos resultados: $$0 + 40 = 40$$ --- 1. Problema: Calcular la integral doble de $f(x,y) = \sin(x + 4y)$ sobre $Q = [2, 5] \times [3, 6]$. 2. Integral iterada: $$\int_2^5 \int_3^6 \sin(x + 4y) \, dy \, dx$$ 3. Integramos respecto a $y$: Sea $u = x + 4y$, entonces $du = 4 dy$, $dy = \frac{du}{4}$. Cuando $y=3$, $u = x + 12$; cuando $y=6$, $u = x + 24$. 4. La integral interna es: $$\int_3^6 \sin(x + 4y) \, dy = \int_{u=x+12}^{x+24} \sin(u) \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int_{x+12}^{x+24} \sin(u) \, du = -\frac{1}{4} \cos(u) \Big|_{x+12}^{x+24} = -\frac{1}{4} [\cos(x+24) - \cos(x+12)]$$ 5. Ahora la integral en $x$ es: $$\int_2^5 -\frac{1}{4} [\cos(x+24) - \cos(x+12)] \, dx = -\frac{1}{4} \int_2^5 \cos(x+24) - \cos(x+12) \, dx$$ 6. Integramos término a término: $$\int \cos(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax + b) + C$$ 7. Por lo tanto: $$-\frac{1}{4} \left[ \sin(x+24) - \sin(x+12) \right] \Big|_2^5 = -\frac{1}{4} \left[ (\sin(29) - \sin(17)) - (\sin(26) - \sin(14)) \right]$$ 8. Simplificando: $$-\frac{1}{4} [\sin(29) - \sin(17) - \sin(26) + \sin(14)] = -\frac{1}{4} [\sin(29) - \sin(26) - \sin(17) + \sin(14)]$$ --- 1. Problema: Calcular la integral doble de $f(x,y) = e^{x+y}$ sobre $Q = [1, 2] \times [0, 3]$. 2. Integral iterada: $$\int_1^2 \int_0^3 e^{x+y} \, dy \, dx$$ 3. Integramos respecto a $y$: $$\int_0^3 e^{x+y} \, dy = e^x \int_0^3 e^y \, dy = e^x [e^y]_0^3 = e^x (e^3 - 1)$$ 4. Ahora integramos respecto a $x$: $$\int_1^2 e^x (e^3 - 1) \, dx = (e^3 - 1) \int_1^2 e^x \, dx = (e^3 - 1) [e^x]_1^2 = (e^3 - 1)(e^2 - e)$$ --- 1. Problema: Calcular la integral doble de $f(x,y) = x^2 y e^{xy}$ sobre $Q = [0, 1] \times [0, 1]$. 2. Integral iterada: $$\int_0^1 \int_0^1 x^2 y e^{xy} \, dy \, dx$$ 3. Para integrar respecto a $y$, consideramos $x$ constante: $$\int_0^1 y e^{xy} \, dy$$ 4. Usamos integración por partes: Sea $u = y$, $dv = e^{xy} dy$, entonces $du = dy$, $v = \frac{1}{x} e^{xy}$. 5. Entonces: $$\int y e^{xy} dy = y \frac{e^{xy}}{x} - \int \frac{e^{xy}}{x} dy = \frac{y e^{xy}}{x} - \frac{1}{x} \int e^{xy} dy$$ 6. Calculamos la integral restante: $$\int e^{xy} dy = \frac{1}{x} e^{xy} + C$$ 7. Por lo tanto: $$\int y e^{xy} dy = \frac{y e^{xy}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{e^{xy}}{x} + C = \frac{e^{xy}}{x} \left(y - \frac{1}{x} \right) + C$$ 8. Evaluamos de 0 a 1: $$\left[ \frac{e^{xy}}{x} \left(y - \frac{1}{x} \right) \right]_0^1 = \frac{e^{x}}{x} \left(1 - \frac{1}{x} \right) - \frac{1}{x} \left(0 - \frac{1}{x} \right) = \frac{e^{x}}{x} \left(1 - \frac{1}{x} \right) + \frac{1}{x^2}$$ 9. Simplificamos: $$\frac{e^{x}}{x} - \frac{e^{x}}{x^2} + \frac{1}{x^2}$$ 10. Ahora integramos respecto a $x$: $$\int_0^1 x^2 \left( \frac{e^{x}}{x} - \frac{e^{x}}{x^2} + \frac{1}{x^2} \right) dx = \int_0^1 (x e^{x} - e^{x} + 1) dx$$ 11. Separamos la integral: $$\int_0^1 x e^{x} dx - \int_0^1 e^{x} dx + \int_0^1 1 dx$$ 12. Calculamos cada integral: - Para $\int_0^1 x e^{x} dx$, usamos integración por partes: Sea $u = x$, $dv = e^{x} dx$, entonces $du = dx$, $v = e^{x}$. $$\int x e^{x} dx = x e^{x} - \int e^{x} dx = x e^{x} - e^{x} + C$$ Evaluando de 0 a 1: $$[x e^{x} - e^{x}]_0^1 = (1 \cdot e^{1} - e^{1}) - (0 - 1) = (e - e) - (-1) = 1$$ - Para $\int_0^1 e^{x} dx = e^{x} \Big|_0^1 = e - 1$ - Para $\int_0^1 1 dx = 1$ 13. Sumamos resultados: $$1 - (e - 1) + 1 = 1 - e + 1 + 1 = 3 - e$$