1. **Planteamiento del problema:** Calcular las integrales indefinidas de las funciones de fuerza $$F_1(x) = x e^{3x}$$ y $$F_2(x) = x \sqrt{x^2 + 4}$$ además de calcular el trabajo total realizado por la fuerza neta $$F(x) = F_1(x) + F_2(x)$$ en el intervalo $$[0,1]$$. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** El trabajo realizado por una fuerza $$F(x)$$ sobre un desplazamiento $$x$$ se calcula como $$W = \int F(x) \, dx$$ Para integrar productos y funciones compuestas usaremos integración por partes y sustitución. --- ### a) Integral indefinida de $$F_1(x) = x e^{3x}$$ 3. Usamos integración por partes: Sea $$u = x$$ y $$dv = e^{3x} dx$$. Entonces $$du = dx$$ y $$v = \frac{e^{3x}}{3}$$. 4. Aplicando la fórmula: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 5. Sustituyendo: $$\int x e^{3x} dx = x \cdot \frac{e^{3x}}{3} - \int \frac{e^{3x}}{3} dx = \frac{x e^{3x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{3x} dx$$ 6. Calculamos la integral restante: $$\int e^{3x} dx = \frac{e^{3x}}{3} + C$$ 7. Por lo tanto: $$\int x e^{3x} dx = \frac{x e^{3x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{e^{3x}}{3} + C = \frac{x e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9} + C$$ --- ### b) Integral indefinida de $$F_2(x) = x \sqrt{x^2 + 4}$$ 8. Usamos sustitución: Sea $$t = x^2 + 4$$, entonces $$dt = 2x dx$$ o $$x dx = \frac{dt}{2}$$. 9. Reescribimos la integral: $$\int x \sqrt{x^2 + 4} dx = \int \sqrt{t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int t^{1/2} dt$$ 10. Integramos: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{t^{3/2}}{3} + C$$ 11. Sustituimos de nuevo: $$\int x \sqrt{x^2 + 4} dx = \frac{(x^2 + 4)^{3/2}}{3} + C$$ --- ### c) Trabajo total realizado por $$F(x) = F_1(x) + F_2(x)$$ en $$[0,1]$$ 12. El trabajo es $$W = \int_0^1 F(x) dx = \int_0^1 x e^{3x} dx + \int_0^1 x \sqrt{x^2 + 4} dx$$ 13. Usamos las integrales indefinidas calculadas y evaluamos en los límites: Para $$F_1$$: $$\left[ \frac{x e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9} \right]_0^1 = \left( \frac{1 \cdot e^{3}}{3} - \frac{e^{3}}{9} \right) - \left( 0 - \frac{e^{0}}{9} \right) = \frac{e^{3}}{3} - \frac{e^{3}}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3e^{3} - e^{3} + 1}{9} = \frac{2 e^{3} + 1}{9}$$ Para $$F_2$$: $$\left[ \frac{(x^2 + 4)^{3/2}}{3} \right]_0^1 = \frac{(1 + 4)^{3/2}}{3} - \frac{4^{3/2}}{3} = \frac{5^{3/2}}{3} - \frac{8}{3}$$ 14. Sumamos para obtener el trabajo total: $$W = \frac{2 e^{3} + 1}{9} + \frac{5^{3/2} - 8}{3} = \frac{2 e^{3} + 1}{9} + \frac{5^{3/2} - 8}{3}$$ 15. Interpretación física: El valor $$W$$ representa el trabajo total realizado por la fuerza neta sobre el mecanismo al desplazarse desde $$x=0$$ hasta $$x=1$$ metro. Es la energía transferida al sistema por las fuerzas aplicadas durante ese desplazamiento.