1. Vamos inverter a ordem de integração da integral dupla dada: $$\int_0^1 \int_x^1 \sin(y^2) \, dy \, dx$$. 2. A região de integração é definida por $0 \leq x \leq 1$ e $x \leq y \leq 1$. 3. Para inverter a ordem, precisamos expressar $x$ em função de $y$. Como $x \leq y$ e $x$ varia de 0 a 1, para cada $y$ fixo, $x$ varia de 0 até $y$. 4. Portanto, a integral invertida é: $$\int_0^1 \int_0^y \sin(y^2) \, dx \, dy$$ 5. Note que a função integranda $\sin(y^2)$ não depende de $x$, então a integral interna em $x$ é simples: $$\int_0^y \sin(y^2) \, dx = \sin(y^2) \int_0^y dx = \sin(y^2) \cdot y$$ 6. Assim, a integral original se torna: $$\int_0^1 y \sin(y^2) \, dy$$ 7. Para resolver essa integral, usamos a substituição $u = y^2$, então $du = 2y \, dy$ ou $y \, dy = \frac{du}{2}$. 8. Os limites em $u$ são: quando $y=0$, $u=0$; quando $y=1$, $u=1$. 9. Substituindo, temos: $$\int_0^1 y \sin(y^2) \, dy = \int_0^1 \sin(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_0^1 \sin(u) \, du$$ 10. A integral de $\sin(u)$ é $-\cos(u)$, então: $$\frac{1}{2} [-\cos(u)]_0^1 = \frac{1}{2} [-\cos(1) + \cos(0)] = \frac{1}{2} [1 - \cos(1)]$$ 11. Portanto, o valor da integral é: $$\boxed{\frac{1 - \cos(1)}{2}}$$