1. Enunciado: Calcular el límite $\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x}$ usando la regla de L'Hôpital. 2. Observación: Para $x\to\infty$ se tiene $\ln x\to\infty$ y $x\to\infty$, por tanto la forma es una indeterminación del tipo $\infty/\infty$. 3. Regla de L'Hôpital: Si $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ es $0/0$ o $\infty/\infty$ y $f,g$ son diferenciables cerca de $a$ con $g'(x)\neq 0$, entonces $$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ 4. Aplicación: Tomando $f(x)=\ln x$ y $g(x)=x$ calculamos las derivadas $$f'(x)=\frac{1}{x},\quad g'(x)=1$$ 5. Reemplazo: Aplicando L'Hôpital se obtiene $$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{1/x}{1}$$ 6. Simplificación: Simplificamos la fracción mostrando la cancelación obligatoria: $$\frac{1/x}{1} = \frac{1}{x}\cdot\frac{\cancel{1}}{\cancel{1}} = \frac{1}{x}$$ 7. Evaluación: Como $$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0$$ 8. Conclusión: Por tanto el límite es $0$.