1. Enunciado del problema: Calcular el límite $\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x}$ usando el método de L'Hôpital. 2. Comprobación de la forma indeterminada: Cuando $x\to\infty$ se tiene $\ln x\to\infty$ y $x\to\infty$, por lo que la expresión es de la forma $\infty/\infty$ y se puede aplicar la regla de L'Hôpital. 3. Regla y fórmula: La regla de L'Hôpital dice que si $\lim_{x\to a} f(x)$ y $\lim_{x\to a} g(x)$ son $0$ o $\infty$ y existen $f'(x)$ y $g'(x)$ cerca de $a$, entonces $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$ siempre que el límite derecho exista. 4. Derivar numerador y denominador: Tomamos $f(x)=\ln x$ y $g(x)=x$. Entonces $f'(x)=1/x$ y $g'(x)=1$. 5. Aplicación de L'Hôpital: Sustituimos las derivadas en la fórmula para obtener $$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}.$$ 6. Simplificación mostrando cancelación: Reescribimos $$\frac{1/x}{1}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1}$$ y cancelamos el 1 irrelevante mostrando la línea de cancelación $$\frac{1}{x}\cdot\frac{\cancel{1}}{\cancel{1}}=\frac{1}{x}.$$ 7. Cálculo del límite final: Como $x\to\infty$ se tiene $1/x\to 0$, por lo tanto $$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$$ y así $$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0.$$ 8. Respuesta final: El límite es 0.