1. Enunciado do problema: Aplicar o Teorema de Lagrange (Teorema do Valor Médio) para a função $$f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$$ no intervalo $$[0,4]$$. 2. O Teorema de Lagrange afirma que existe pelo menos um ponto $$c \in (a,b)$$ tal que $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$. 3. Calculamos $$f(a) = f(0) = \sqrt{0^2 + 9} = 3$$ e $$f(b) = f(4) = \sqrt{4^2 + 9} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$. 4. Calculamos o coeficiente angular da reta secante: $$\frac{f(4) - f(0)}{4 - 0} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$$. 5. Derivamos $$f(x)$$: $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$$. 6. Igualamos $$f'(c)$$ ao coeficiente angular: $$\frac{c}{\sqrt{c^2 + 9}} = 0.5$$. 7. Resolvendo para $$c$$: $$c = 0.5 \sqrt{c^2 + 9}$$ $$c^2 = 0.25 (c^2 + 9)$$ $$c^2 = 0.25 c^2 + 2.25$$ $$c^2 - 0.25 c^2 = 2.25$$ $$0.75 c^2 = 2.25$$ $$c^2 = \frac{2.25}{0.75} = 3$$ $$c = \sqrt{3} \approx 1.732$$. 8. Verificamos que $$c \in (0,4)$$, portanto o ponto $$c = \sqrt{3}$$ satisfaz o Teorema de Lagrange para essa função e intervalo. Resposta final: $$c = \sqrt{3} \approx 1.732$$.