1. Enunciado del problema: Compruebe el siguiente límite aplicando la regla de l'Hospital. $$ \lim_{x\to 0} \frac{2x}{\cos(x)-x-1} = -2 $$ 2. Comprobar la forma indeterminada al sustituir x=0. $$2\cdot 0 = 0, \quad \cos 0 - 0 - 1 = 0$$ 3. Como la forma es 0/0, aplicamos la regla de l'Hospital: derivamos numerador y denominador. $$\lim_{x\to 0} \frac{2x}{\cos x - x - 1} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx}(2x)}{\frac{d}{dx}(\cos x - x - 1)} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{-\sin x - 1}$$ 4. Evaluar el límite sustituyendo x=0 en la expresión resultante. $$\frac{2}{-\sin 0 - 1} = \frac{2}{-1} = -2$$ 5. Verificación alternativa (desarrollo en series y cancelación) para mostrar la cancelación exigida. $$\cos x - 1 = -\frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})$$ $$\cos x - x - 1 = -x - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2}) = x\left(-1 - \frac{x}{2} + o(x)\right)$$ $$\frac{2x}{\cos x - x - 1} = \frac{2x}{x\left(-1 - \frac{x}{2} + o(x)\right)} = \frac{2\cancel{x}}{\cancel{x}\left(-1 - \frac{x}{2} + o(x)\right)} = \frac{2}{-1 - \frac{x}{2} + o(x)}$$ $$\lim_{x\to 0} \frac{2}{-1 - \frac{x}{2} + o(x)} = \frac{2}{-1} = -2$$ 6. Conclusión: Por la regla de l'Hospital (y verificación alternativa) el límite es $-2$.