1. Vamos calcular o limite $$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+3}{n+5}\right)^{2n+1}$$ 2. Primeiro, observe que para grandes valores de $n$, a fração $\frac{n+3}{n+5}$ se aproxima de 1, pois os termos dominantes no numerador e denominador são ambos $n$. 3. Para analisar o limite, escrevemos a fração de forma que possamos aplicar a definição do número $e$: $$\frac{n+3}{n+5} = \frac{n+5 - 2}{n+5} = 1 - \frac{2}{n+5}$$ 4. Assim, o limite fica: $$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{n+5}\right)^{2n+1}$$ 5. Para facilitar, vamos reescrever o expoente $2n+1$ em termos de $n+5$: $$2n+1 = 2(n+5) - 9$$ 6. Portanto, $$\left(1 - \frac{2}{n+5}\right)^{2n+1} = \left(1 - \frac{2}{n+5}\right)^{2(n+5)-9} = \left[\left(1 - \frac{2}{n+5}\right)^{n+5}\right]^2 \cdot \left(1 - \frac{2}{n+5}\right)^{-9}$$ 7. Agora, analisamos o limite de cada parte separadamente: - Para $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{n+5}\right)^{n+5}$, reconhecemos a forma clássica do número $e$: $$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$$ Aqui, $a = -2$, então $$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{n+5}\right)^{n+5} = e^{-2}$$ - Para $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{n+5}\right)^{-9}$, como $\frac{2}{n+5} \to 0$, temos $$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{n+5}\right)^{-9} = 1^{-9} = 1$$ 8. Multiplicando os resultados: $$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+3}{n+5}\right)^{2n+1} = (e^{-2})^2 \cdot 1 = e^{-4}$$ 9. Portanto, o limite é $$\boxed{e^{-4}}$$