1. Vamos analisar o problema: calcular o limite $$\lim_{x \to \frac{3}{5}} \frac{18x^3 - 87x^2 + 140x - 75}{27x^3 - 108x^2 + 135x - 50}$$. 2. Para resolver limites que resultam em uma forma indeterminada, como $$\frac{0}{0}$$, uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. 3. Primeiro, substituímos $$x = \frac{3}{5}$$ para verificar se a expressão é indeterminada: $$18\left(\frac{3}{5}\right)^3 - 87\left(\frac{3}{5}\right)^2 + 140\left(\frac{3}{5}\right) - 75 = 0$$ $$27\left(\frac{3}{5}\right)^3 - 108\left(\frac{3}{5}\right)^2 + 135\left(\frac{3}{5}\right) - 50 = 0$$ Ambos são zero, então temos $$\frac{0}{0}$$, uma forma indeterminada. 4. Agora, vamos fatorar o numerador: $$18x^3 - 87x^2 + 140x - 75$$ Usando fatoração por agrupamento: $$= 3x^2(6x - 29) + 5(28x - 15)$$ Mas isso não simplifica diretamente, então tentamos fatorar completamente ou encontrar raízes usando o Teorema do Resto. 5. Testando $$x = \frac{3}{5}$$ como raiz do numerador: Se $$x - \frac{3}{5}$$ é fator, multiplicamos por 5 para evitar frações: $$5x - 3$$. Dividimos o numerador por $$5x - 3$$: $$\frac{18x^3 - 87x^2 + 140x - 75}{5x - 3} = 3.6x^2 - 15x + 25$$ (após divisão polinomial). 6. Fazemos o mesmo para o denominador: Dividimos $$27x^3 - 108x^2 + 135x - 50$$ por $$5x - 3$$: O quociente é $$5.4x^2 - 21.6x + 30$$. 7. Agora, a expressão simplificada é: $$\frac{3.6x^2 - 15x + 25}{5.4x^2 - 21.6x + 30}$$ 8. Substituímos $$x = \frac{3}{5}$$ para encontrar o limite: Numerador: $$3.6\left(\frac{3}{5}\right)^2 - 15\left(\frac{3}{5}\right) + 25 = 3.6\times\frac{9}{25} - 9 + 25 = 1.296 - 9 + 25 = 17.296$$ Denominador: $$5.4\left(\frac{3}{5}\right)^2 - 21.6\left(\frac{3}{5}\right) + 30 = 5.4\times\frac{9}{25} - 12.96 + 30 = 1.944 - 12.96 + 30 = 18.984$$ 9. Portanto, o limite é: $$\frac{17.296}{18.984} \approx 0.91$$ 10. Resposta final: $$\boxed{\lim_{x \to \frac{3}{5}} \frac{18x^3 - 87x^2 + 140x - 75}{27x^3 - 108x^2 + 135x - 50} = 0.91}$$