1. Vamos resolver o limite $$\lim_{x \to 1} \frac{4x^3 + (1 - 3x^2)^2}{x^3 - 1}$$. 2. Primeiro, substituímos diretamente $x=1$ para verificar se o limite é do tipo indeterminado: $$\frac{4(1)^3 + (1 - 3(1)^2)^2}{(1)^3 - 1} = \frac{4 + (1 - 3)^2}{1 - 1} = \frac{4 + (-2)^2}{0} = \frac{4 + 4}{0} = \frac{8}{0}$$ O denominador é zero, então temos uma forma indeterminada do tipo $\frac{n}{0}$, o que indica que o limite pode tender a infinito ou não existir. Vamos analisar mais detalhadamente. 3. Vamos fatorar o denominador: $$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$$ 4. Agora, vamos expandir o numerador: $$4x^3 + (1 - 3x^2)^2 = 4x^3 + (1 - 6x^2 + 9x^4) = 4x^3 + 1 - 6x^2 + 9x^4$$ 5. Reorganizando o numerador em ordem decrescente de potências: $$9x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 1$$ 6. Vamos verificar se $(x-1)$ é fator do numerador, para isso aplicamos o Teorema do Resto, substituindo $x=1$: $$9(1)^4 + 4(1)^3 - 6(1)^2 + 1 = 9 + 4 - 6 + 1 = 8 \neq 0$$ Portanto, $(x-1)$ não é fator do numerador. 7. Como o denominador se anula em $x=1$ e o numerador não, o limite tende a infinito ou menos infinito. Vamos analisar o comportamento lateral: - Para $x \to 1^+$, o denominador $(x-1)(x^2 + x + 1)$ é positivo (pois $x-1 > 0$ e $x^2 + x + 1 > 0$ sempre). - O numerador próximo de 1 é aproximadamente 8, positivo. Logo, para $x \to 1^+$, o limite tende a $+\infty$. - Para $x \to 1^-$, o denominador é negativo (pois $x-1 < 0$ e $x^2 + x + 1 > 0$). - O numerador é positivo. Logo, para $x \to 1^-$, o limite tende a $-\infty$. 8. Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe. **Resposta final:** O limite não existe porque os limites laterais são diferentes: $$\lim_{x \to 1^-} = -\infty$$ e $$\lim_{x \to 1^+} = +\infty$$.