1. **Planteamiento del problema:** Calcular el límite $$\lim_{x \to -1} b \cdot \frac{x^3 + 3x^2 - 2x - 3}{x^2 + 3x + 2}$$ donde $b$ es una constante. 2. **Factorización del numerador y denominador:** - Numerador: $x^3 + 3x^2 - 2x - 3$ Agrupamos términos: $(x^3 + 3x^2) + (-2x - 3)$ Sacamos factor común: $x^2(x + 3) -1(2x + 3)$ No es factible así, intentamos división sintética o prueba de raíces. Probamos $x = -1$: $$(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2(-1) - 3 = -1 + 3 + 2 - 3 = 1 \neq 0$$ Probamos $x = 1$: $$1 + 3 - 2 - 3 = -1 \neq 0$$ Probamos $x = -3$: $$-27 + 27 + 6 - 3 = 3 \neq 0$$ Probamos $x = 3$: $$27 + 27 - 6 - 3 = 45 \neq 0$$ Intentamos división sintética con $x = -1$ para ver si es factor: Coeficientes: 1, 3, -2, -3 Bajamos 1, multiplicamos por -1: -1, sumamos 3 + (-1) = 2 Multiplicamos 2 * -1 = -2, sumamos -2 + (-2) = -4 Multiplicamos -4 * -1 = 4, sumamos -3 + 4 = 1 (resto 1) No es factor. Intentamos división sintética con $x = -3$: Bajamos 1, multiplicamos por -3: -3, sumamos 3 + (-3) = 0 Multiplicamos 0 * -3 = 0, sumamos -2 + 0 = -2 Multiplicamos -2 * -3 = 6, sumamos -3 + 6 = 3 (resto 3) No es factor. Intentamos división sintética con $x = 1$: Bajamos 1, multiplicamos por 1: 1, sumamos 3 + 1 = 4 Multiplicamos 4 * 1 = 4, sumamos -2 + 4 = 2 Multiplicamos 2 * 1 = 2, sumamos -3 + 2 = -1 (resto -1) No es factor. Intentamos división sintética con $x = 3$: Bajamos 1, multiplicamos por 3: 3, sumamos 3 + 3 = 6 Multiplicamos 6 * 3 = 18, sumamos -2 + 18 = 16 Multiplicamos 16 * 3 = 48, sumamos -3 + 48 = 45 (resto 45) No es factor. Por lo tanto, intentamos factorizar por agrupación: $$x^3 + 3x^2 - 2x - 3 = (x^3 + 3x^2) - (2x + 3) = x^2(x + 3) - 1(2x + 3)$$ No es factor común, pero podemos intentar factorizar el denominador para ver si hay cancelación. - Denominador: $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$ 3. **Evaluación directa en $x = -1$:** - Denominador: $(-1 + 1)(-1 + 2) = 0 \cdot 1 = 0$ - Numerador: $(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2(-1) - 3 = -1 + 3 + 2 - 3 = 1$ 4. **Conclusión:** El denominador se anula en $x = -1$ y el numerador no, por lo que el límite tiende a infinito o no existe finitamente. 5. **Si $b$ es constante, el límite es:** $$\lim_{x \to -1} b \cdot \frac{1}{0} = \pm \infty$$ dependiendo del signo de $b$ y del comportamiento lateral. 6. **Para determinar el comportamiento lateral, evaluamos cerca de $x = -1$:** - Para $x \to -1^-$, el denominador $(x+1)(x+2)$ es: - $(x+1) < 0$ muy pequeño negativo - $(x+2) > 0$ Producto negativo - Para $x \to -1^+$, el denominador es positivo 7. **Por lo tanto:** - Límite por la izquierda: $b \cdot \frac{1}{\text{negativo pequeño}} = -\infty$ si $b > 0$ - Límite por la derecha: $b \cdot \frac{1}{\text{positivo pequeño}} = +\infty$ si $b > 0$ **Respuesta final:** El límite no existe finitamente y tiende a $-\infty$ por la izquierda y $+\infty$ por la derecha si $b > 0$.