1. Planteamos el problema: Dado que $$\lim_{x \to 2} [f(x) + x^2] = 9$$, queremos hallar $$\lim_{x \to 2} f(x)$$. 2. Usamos la propiedad de límites que dice que el límite de una suma es la suma de los límites, siempre que existan: $$\lim_{x \to a} [g(x) + h(x)] = \lim_{x \to a} g(x) + \lim_{x \to a} h(x)$$. 3. Aplicamos esta propiedad: $$\lim_{x \to 2} f(x) + \lim_{x \to 2} x^2 = 9$$. 4. Calculamos $$\lim_{x \to 2} x^2$$ sustituyendo directamente: $$2^2 = 4$$. 5. Entonces: $$\lim_{x \to 2} f(x) + 4 = 9$$. 6. Despejamos $$\lim_{x \to 2} f(x)$$: $$\lim_{x \to 2} f(x) = 9 - 4 = 5$$. 7. Ahora, para el segundo límite dado: $$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 8}{x - 1} = 10$$. 8. Este límite es la definición del límite de la derivada de $$f(x)$$ en $$x=1$$, es decir: $$f'(1) = 10$$. 9. Finalmente, para hallar $$\lim_{x \to 2} f(x)$$ sabiendo que $$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 8}{x - 1} = 10$$, no se puede determinar directamente sin más información sobre $$f(x)$$, pero del primer límite ya sabemos que: $$\lim_{x \to 2} f(x) = 5$$. Respuesta final: $$\lim_{x \to 2} f(x) = 5$$. Leyes aplicadas: - Límite de suma: $$\lim (f+g) = \lim f + \lim g$$. - Sustitución directa para polinomios. - Interpretación del límite del cociente como derivada.