1. Enunciado del problema: Calcular el límite usando la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x\to 0} \frac{7^{x}-1}{7^{x}-x-1}$$ 2. Comprobación de forma indeterminada: Al evaluar en $x=0$ obtenemos $7^{0}-1=0$ y $7^{0}-0-1=0$. 3. Regla que usamos: $$\text{Si }\lim_{x\to a} f(x)=0 \text{ y }\lim_{x\to a} g(x)=0\text{ y }f',g'\text{ existen, entonces }\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$$ 4. Derivadas de numerador y denominador: Sea $f(x)=7^{x}-1$ y $g(x)=7^{x}-x-1$. Entonces $$f'(x)=\ln 7\,7^{x}\quad\text{y}\quad g'(x)=\ln 7\,7^{x}-1.$$ 5. Aplicando la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x\to 0}\frac{7^{x}-1}{7^{x}-x-1}=\lim_{x\to 0}\frac{\ln 7\,7^{x}}{\ln 7\,7^{x}-1}.$$ 6. Evaluación directa en $x=0$: Sustituyendo $x=0$ en la fracción derivada obtenemos $$\frac{\ln 7\,7^{0}}{\ln 7\,7^{0}-1}=\frac{\ln 7}{\ln 7-1}.$$ 7. Resultado final: El límite es $$\displaystyle\frac{\ln 7}{\ln 7-1}.$$