1. Vamos resolver o limite $$\lim_{x \to 1} \frac{4x^3 - (1 - 3x^2)^2}{(x^3 - 1)^2}$$. 2. Primeiro, substituímos $x=1$ diretamente para verificar se o limite é uma forma indeterminada: $$\frac{4(1)^3 - (1 - 3(1)^2)^2}{(1^3 - 1)^2} = \frac{4 - (1 - 3)^2}{(1 - 1)^2} = \frac{4 - (-2)^2}{0} = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0}$$ É uma forma indeterminada, então precisamos manipular a expressão. 3. Expandimos o numerador: $$4x^3 - (1 - 3x^2)^2 = 4x^3 - (1 - 6x^2 + 9x^4) = 4x^3 - 1 + 6x^2 - 9x^4$$ 4. Reorganizamos o numerador: $$-9x^4 + 4x^3 + 6x^2 - 1$$ 5. O denominador é: $$(x^3 - 1)^2$$ Sabemos que $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$. 6. Como o limite é para $x \to 1$, fatoramos o numerador para verificar se $(x-1)$ é fator comum. 7. Testamos $x=1$ no numerador para confirmar que é zero: $$-9(1)^4 + 4(1)^3 + 6(1)^2 - 1 = -9 + 4 + 6 - 1 = 0$$ 8. Usamos divisão sintética ou fatoração para dividir o numerador por $(x-1)$: Dividindo $-9x^4 + 4x^3 + 6x^2 - 1$ por $(x-1)$, obtemos: $$-9x^3 - 5x^2 + x + 1$$ 9. Portanto: $$-9x^4 + 4x^3 + 6x^2 - 1 = (x-1)(-9x^3 - 5x^2 + x + 1)$$ 10. O denominador é: $$(x^3 - 1)^2 = ((x-1)(x^2 + x + 1))^2 = (x-1)^2 (x^2 + x + 1)^2$$ 11. Substituímos na expressão do limite: $$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(-9x^3 - 5x^2 + x + 1)}{(x-1)^2 (x^2 + x + 1)^2} = \lim_{x \to 1} \frac{\cancel{(x-1)}(-9x^3 - 5x^2 + x + 1)}{\cancel{(x-1)}(x-1)(x^2 + x + 1)^2} = \lim_{x \to 1} \frac{-9x^3 - 5x^2 + x + 1}{(x-1)(x^2 + x + 1)^2}$$ 12. Ainda temos um fator $(x-1)$ no denominador, então verificamos se o numerador é zero em $x=1$: $$-9(1)^3 - 5(1)^2 + 1 + 1 = -9 - 5 + 1 + 1 = -12 \neq 0$$ 13. Como o numerador não é zero em $x=1$, o limite tende a infinito ou menos infinito. Para determinar o sinal, analisamos o comportamento próximo de $x=1$. 14. Para $x \to 1^+$, $(x-1) > 0$, numerador é aproximadamente $-12$ (negativo), então a fração é negativa dividida por positivo, resultado negativo infinito. 15. Para $x \to 1^-$, $(x-1) < 0$, numerador é negativo, denominador negativo vezes positivo ao quadrado, resultado positivo infinito. 16. Portanto, o limite não existe porque os limites laterais são diferentes: $$\lim_{x \to 1^-} = +\infty, \quad \lim_{x \to 1^+} = -\infty$$ Resposta final: O limite não existe.