1. **Problema:** Calcular el límite $$\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{x+4} - \sqrt{2}}{\sqrt{x+5} - \sqrt{3}}$$ 2. **Fórmula y regla importante:** Cuando tenemos límites con expresiones que generan indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, una técnica útil es multiplicar y dividir por el conjugado para eliminar raíces y simplificar. 3. **Evaluamos directamente para verificar indeterminación:** $$\sqrt{-2+4} - \sqrt{2} = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$$ $$\sqrt{-2+5} - \sqrt{3} = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$$ Por lo tanto, tenemos indeterminación $\frac{0}{0}$. 4. **Multiplicamos por el conjugado del numerador y denominador:** $$\frac{\sqrt{x+4} - \sqrt{2}}{\sqrt{x+5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{x+4} + \sqrt{2}}{\sqrt{x+4} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{x+4})^2 - (\sqrt{2})^2}{(\sqrt{x+5} - \sqrt{3})(\sqrt{x+4} + \sqrt{2})} = \frac{x+4 - 2}{(\sqrt{x+5} - \sqrt{3})(\sqrt{x+4} + \sqrt{2})} = \frac{x+2}{(\sqrt{x+5} - \sqrt{3})(\sqrt{x+4} + \sqrt{2})}$$ 5. **Multiplicamos también por el conjugado del denominador para eliminar la raíz en el denominador:** $$\frac{x+2}{(\sqrt{x+5} - \sqrt{3})(\sqrt{x+4} + \sqrt{2})} \cdot \frac{\sqrt{x+5} + \sqrt{3}}{\sqrt{x+5} + \sqrt{3}} = \frac{(x+2)(\sqrt{x+5} + \sqrt{3})}{(x+5) - 3)(\sqrt{x+4} + \sqrt{2})} = \frac{(x+2)(\sqrt{x+5} + \sqrt{3})}{(x+2)(\sqrt{x+4} + \sqrt{2})}$$ 6. **Cancelamos el factor común $(x+2)$:** $$\frac{\cancel{x+2}(\sqrt{x+5} + \sqrt{3})}{\cancel{x+2}(\sqrt{x+4} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{x+5} + \sqrt{3}}{\sqrt{x+4} + \sqrt{2}}$$ 7. **Evaluamos el límite sustituyendo $x = -2$:** $$\frac{\sqrt{-2+5} + \sqrt{3}}{\sqrt{-2+4} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$$ **Respuesta final:** $$\boxed{\sqrt{\frac{3}{2}}}$$