1. Planteamos el problema: calcular el límite $$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{10x - 5} - \sqrt{2x^2 - x + 10}}{\sqrt{35x - 41} - \sqrt{9x^2 - 17}}$$ 2. Observamos que al sustituir directamente $x=3$ obtenemos una forma indeterminada $\frac{0}{0}$, ya que: $$\sqrt{10(3) - 5} = \sqrt{30 - 5} = \sqrt{25} = 5$$ $$\sqrt{2(3)^2 - 3 + 10} = \sqrt{18 - 3 + 10} = \sqrt{25} = 5$$ Para el denominador: $$\sqrt{35(3) - 41} = \sqrt{105 - 41} = \sqrt{64} = 8$$ $$\sqrt{9(3)^2 - 17} = \sqrt{81 - 17} = \sqrt{64} = 8$$ 3. Para resolver esta indeterminación, multiplicamos numerador y denominador por los conjugados para eliminar las raíces: Multiplicamos por $$\frac{\sqrt{10x - 5} + \sqrt{2x^2 - x + 10}}{\sqrt{10x - 5} + \sqrt{2x^2 - x + 10}}$$ en el numerador y $$\frac{\sqrt{35x - 41} + \sqrt{9x^2 - 17}}{\sqrt{35x - 41} + \sqrt{9x^2 - 17}}$$ en el denominador. 4. El límite queda: $$\lim_{x \to 3} \frac{(10x - 5) - (2x^2 - x + 10)}{(\sqrt{35x - 41} - \sqrt{9x^2 - 17})(\sqrt{35x - 41} + \sqrt{9x^2 - 17})} \cdot \frac{\sqrt{10x - 5} + \sqrt{2x^2 - x + 10}}{\sqrt{35x - 41} + \sqrt{9x^2 - 17}}$$ Simplificando el denominador usando la diferencia de cuadrados: $$= \lim_{x \to 3} \frac{(10x - 5) - (2x^2 - x + 10)}{(35x - 41) - (9x^2 - 17)} \cdot \frac{\sqrt{10x - 5} + \sqrt{2x^2 - x + 10}}{\sqrt{35x - 41} + \sqrt{9x^2 - 17}}$$ 5. Simplificamos los numeradores y denominadores de las fracciones: Numerador: $$10x - 5 - 2x^2 + x - 10 = -2x^2 + 11x - 15$$ Denominador: $$35x - 41 - 9x^2 + 17 = -9x^2 + 35x - 24$$ 6. El límite ahora es: $$\lim_{x \to 3} \frac{-2x^2 + 11x - 15}{-9x^2 + 35x - 24} \cdot \frac{\sqrt{10x - 5} + \sqrt{2x^2 - x + 10}}{\sqrt{35x - 41} + \sqrt{9x^2 - 17}}$$ 7. Factorizamos los polinomios: Para el numerador: $$-2x^2 + 11x - 15 = -(2x^2 - 11x + 15)$$ Buscamos factores de $2 \times 15 = 30$ que sumen $-11$: $-5$ y $-6$. $$2x^2 - 11x + 15 = (2x - 5)(x - 3)$$ Por lo tanto: $$-2x^2 + 11x - 15 = -(2x - 5)(x - 3)$$ Para el denominador: $$-9x^2 + 35x - 24 = -(9x^2 - 35x + 24)$$ Buscamos factores de $9 \times 24 = 216$ que sumen $-35$: $-27$ y $-8$. $$9x^2 - 35x + 24 = (9x - 8)(x - 3)$$ Por lo tanto: $$-9x^2 + 35x - 24 = -(9x - 8)(x - 3)$$ 8. Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 3} \frac{-(2x - 5)(x - 3)}{-(9x - 8)(x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{10x - 5} + \sqrt{2x^2 - x + 10}}{\sqrt{35x - 41} + \sqrt{9x^2 - 17}}$$ 9. Cancelamos el factor común $(x - 3)$ y los signos negativos: $$\lim_{x \to 3} \frac{\cancel{-}(2x - 5)\cancel{(x - 3)}}{\cancel{-}(9x - 8)\cancel{(x - 3)}} \cdot \frac{\sqrt{10x - 5} + \sqrt{2x^2 - x + 10}}{\sqrt{35x - 41} + \sqrt{9x^2 - 17}} = \lim_{x \to 3} \frac{2x - 5}{9x - 8} \cdot \frac{\sqrt{10x - 5} + \sqrt{2x^2 - x + 10}}{\sqrt{35x - 41} + \sqrt{9x^2 - 17}}$$ 10. Ahora sustituimos $x=3$ directamente: $$\frac{2(3) - 5}{9(3) - 8} \cdot \frac{\sqrt{10(3) - 5} + \sqrt{2(3)^2 - 3 + 10}}{\sqrt{35(3) - 41} + \sqrt{9(3)^2 - 17}} = \frac{6 - 5}{27 - 8} \cdot \frac{5 + 5}{8 + 8} = \frac{1}{19} \cdot \frac{10}{16} = \frac{10}{304} = \frac{5}{152}$$ **Respuesta final:** $$\boxed{\frac{5}{152}}$$