1. Planteamos el problema: calcular el valor de $b$ para que el límite $$\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + bx + 2} - (x + 1)\right) = 3$$ 2. Para resolver límites con raíces cuadradas y términos grandes, racionalizamos la expresión multiplicando y dividiendo por el conjugado: $$\sqrt{x^2 + bx + 2} - (x + 1) = \frac{(\sqrt{x^2 + bx + 2} - (x + 1)) (\sqrt{x^2 + bx + 2} + (x + 1))}{\sqrt{x^2 + bx + 2} + (x + 1)}$$ 3. Simplificamos el numerador usando la diferencia de cuadrados: $$= \frac{(x^2 + bx + 2) - (x + 1)^2}{\sqrt{x^2 + bx + 2} + (x + 1)}$$ 4. Expandimos $(x + 1)^2$: $$= \frac{x^2 + bx + 2 - (x^2 + 2x + 1)}{\sqrt{x^2 + bx + 2} + (x + 1)} = \frac{x^2 + bx + 2 - x^2 - 2x - 1}{\sqrt{x^2 + bx + 2} + (x + 1)}$$ 5. Simplificamos el numerador: $$= \frac{(b - 2)x + 1}{\sqrt{x^2 + bx + 2} + (x + 1)}$$ 6. Para $x \to \infty$, dividimos numerador y denominador entre $x$ para analizar el límite: $$= \frac{\cancel{x}((b - 2) + \frac{1}{x})}{\cancel{x}(\sqrt{1 + \frac{b}{x} + \frac{2}{x^2}} + 1 + \frac{1}{x})} = \frac{(b - 2) + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{b}{x} + \frac{2}{x^2}} + 1 + \frac{1}{x}}$$ 7. Al tomar el límite cuando $x \to \infty$, los términos con $\frac{1}{x}$ y $\frac{1}{x^2}$ tienden a 0: $$= \frac{b - 2}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1 + 0} = \frac{b - 2}{1 + 1} = \frac{b - 2}{2}$$ 8. Igualamos el límite al valor dado 3 y despejamos $b$: $$\frac{b - 2}{2} = 3 \implies b - 2 = 6 \implies b = 8$$ Respuesta final: el valor de $b$ que hace que el límite valga 3 es $\boxed{8}$.