1. Problema: Calcular o limite $$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$$ usando a regra de L'Hospital. 2. Para resolver limites do tipo $$0^\infty$$, usamos a transformação $$y = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$$ e aplicamos o logaritmo natural para facilitar: $$\ln y = \frac{1}{x^2} \ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)$$ 3. Agora calculamos $$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)}{x^2}$$. 4. Note que $$\frac{\sin x}{x} \to 1$$ quando $$x \to 0$$, então $$\ln \left(\frac{\sin x}{x}\right) \to 0$$ e o limite é do tipo $$\frac{0}{0}$$, permitindo usar L'Hospital. 5. Derivamos numerador e denominador: Numerador: $$\frac{d}{dx} \ln \left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{\frac{\cos x \cdot x - \sin x}{x^2}}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{x \cos x - \sin x}{x \sin x}$$ Denominador: $$\frac{d}{dx} x^2 = 2x$$ 6. Aplicando L'Hospital: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cos x - \sin x}{2x \sin x}$$ 7. Substituindo $$x=0$$ diretamente dá $$\frac{0 - 0}{0}$$, ainda indeterminado, aplicamos L'Hospital novamente. 8. Derivando novamente: Numerador: $$\frac{d}{dx} (x \cos x - \sin x) = \cos x - x \sin x - \cos x = -x \sin x$$ Denominador: $$\frac{d}{dx} (2x \sin x) = 2 \sin x + 2x \cos x$$ 9. Novo limite: $$\lim_{x \to 0} \frac{-x \sin x}{2 \sin x + 2x \cos x}$$ 10. Substituindo $$x=0$$: Numerador: $$-0 \cdot 0 = 0$$ Denominador: $$2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \cdot 1 = 0$$ Indeterminação $$\frac{0}{0}$$, aplicamos L'Hospital mais uma vez. 11. Derivando novamente: Numerador: $$\frac{d}{dx} (-x \sin x) = -\sin x - x \cos x$$ Denominador: $$\frac{d}{dx} (2 \sin x + 2x \cos x) = 2 \cos x + 2 \cos x - 2x \sin x = 4 \cos x - 2x \sin x$$ 12. Substituindo $$x=0$$: Numerador: $$-0 - 0 = 0$$ Denominador: $$4 \cdot 1 - 0 = 4$$ 13. Portanto, o limite do logaritmo é $$\lim_{x \to 0} \ln y = \frac{0}{4} = 0$$. 14. Voltando para $$y$$: $$\lim_{x \to 0} y = e^0 = 1$$. Resposta final: $$\boxed{1}$$.