1. Vamos resolver o limite $$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$$ usando a regra de L'Hôpital. 2. Primeiro, observe que $$\frac{\sin x}{x} \to 1$$ quando $$x \to 0$$, então a expressão tem a forma $$1^{\infty}$$, que é uma forma indeterminada. 3. Para resolver, definimos $$y = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$$ e aplicamos o logaritmo natural: $$\ln y = \frac{1}{x^2} \ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)$$ 4. Agora, calculamos $$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)}{x^2}$$. 5. Note que $$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)$$, então: $$\ln \left(\frac{\sin x}{x}\right) = \ln \left(1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)\right)$$ 6. Usando a aproximação $$\ln(1 + u) \approx u$$ para $$u \to 0$$, temos: $$\ln \left(\frac{\sin x}{x}\right) \approx -\frac{x^2}{6} + O(x^4)$$ 7. Portanto: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{6} + O(x^4)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{6} + O(x^2)\right) = -\frac{1}{6}$$ 8. Como $$\lim_{x \to 0} \ln y = -\frac{1}{6}$$, então: $$\lim_{x \to 0} y = e^{-\frac{1}{6}}$$ Resposta final: $$\boxed{e^{-\frac{1}{6}}}$$