1. Problema: Calcular el límite $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}$$. 2. Fórmula y reglas: Para límites que resultan en una forma indeterminada $\frac{0}{0}$, intentamos factorizar o simplificar la expresión. 3. Evaluación directa: $$\text{Sustituyendo } x=1: \frac{1^3 + 1}{1^2 - 1} = \frac{2}{0} \quad \text{indeterminado (división por cero)}$$ 4. Factorizamos numerador y denominador: $$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$$ $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ 5. Simplificamos la expresión: $$\frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}, \quad x \neq -1$$ 6. Ahora evaluamos el límite con la expresión simplificada: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}$$ Sustituyendo $x=1$: $$\frac{1 - 1 + 1}{1 - 1} = \frac{1}{0}$$ Esto indica que el límite tiende a infinito o menos infinito. 7. Analizamos el límite lateral: - Para $x \to 1^-$, el denominador $x-1$ es negativo pequeño, numerador es $1$, entonces el límite tiende a $-\infty$. - Para $x \to 1^+$, el denominador es positivo pequeño, numerador es $1$, entonces el límite tiende a $+\infty$. 8. Conclusión: El límite no existe porque los límites laterales no coinciden. Respuesta final: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \text{ no existe}$$.