1. **Problema:** Calcula los límites: a) $$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{\log(x^2 + 1)}$$ b) $$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{1 - x}$$ d) $$\lim_{x \to 0} \frac{x^4 - \frac{1}{3}x^3}{x - \tan x}$$ 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - Para límites con exponenciales y logaritmos, analizar el comportamiento de cada función cuando $x \to \pm \infty$. - Para límites con indeterminaciones, usar simplificación y reglas de cancelación. - Para límites con funciones trigonométricas, usar aproximaciones y series de Taylor si es necesario. 3. **Resolución:** a) $$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{\log(x^2 + 1)}$$ - Cuando $x \to -\infty$, $e^x \to 0$ porque la exponencial decae rápidamente. - $x^2 + 1 \to +\infty$, entonces $\log(x^2 + 1) \to +\infty$. - Por lo tanto, el límite es $$\frac{0}{+\infty} = 0$$. b) $$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{1 - x}$$ - Observamos que $1 - x = -(x - 1)$. - Entonces $$\frac{x - 1}{1 - x} = \frac{x - 1}{- (x - 1)} = -1$$ siempre que $x \neq 1$. - Por lo tanto, el límite es $$-1$$. d) $$\lim_{x \to 0} \frac{x^4 - \frac{1}{3}x^3}{x - \tan x}$$ - Primero, recordemos que para $x$ cerca de 0, $$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$$. - Entonces, $$x - \tan x = x - \left(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)\right) = -\frac{x^3}{3} + O(x^5)$$. - El numerador es $$x^4 - \frac{1}{3}x^3 = x^3 \left(x - \frac{1}{3}\right)$$. - Ahora, escribimos el límite como: $$\lim_{x \to 0} \frac{x^4 - \frac{1}{3}x^3}{x - \tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 \left(x - \frac{1}{3}\right)}{-\frac{x^3}{3} + O(x^5)}$$ - Cancelamos $x^3$ en numerador y denominador: $$= \lim_{x \to 0} \frac{\cancel{x^3} \left(x - \frac{1}{3}\right)}{-\frac{\cancel{x^3}}{3} + O(x^5)} = \lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{1}{3}}{-\frac{1}{3} + O(x^2)}$$ - Evaluamos el límite sustituyendo $x=0$: $$= \frac{0 - \frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}} = \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}} = 1$$. 4. **Respuesta final:** a) 0 b) -1 d) 1