1. Problema: Calcule el límite $$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$ Fórmula: Para límites que resultan en una forma indeterminada $$\frac{0}{0}$$, factorice y simplifique. Paso 1: Factorice el numerador: $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$ Paso 2: Simplifique la expresión: $$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \cancel{\frac{(x - 3)}{(x - 3)}}(x + 3) = x + 3$$ Paso 3: Evalúe el límite sustituyendo $$x = 3$$: $$3 + 3 = 6$$ Respuesta: El límite es 6. 2. Problema: Calcule el límite $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$$ Fórmula: Para límites con raíces, racionalice multiplicando por el conjugado. Paso 1: Multiplique numerador y denominador por $$\sqrt{x + 1} + 1$$: $$\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + 1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \frac{(x + 1) - 1}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x + 1} + 1)}$$ Paso 2: Simplifique: $$\cancel{\frac{x}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1}$$ Paso 3: Evalúe el límite sustituyendo $$x = 0$$: $$\frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$ Respuesta: El límite es $$\frac{1}{2}$$. 3. Problema: Encuentre la derivada de $$f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 2x - 7$$ Fórmula: La derivada de $$x^n$$ es $$nx^{n-1}$$. Paso 1: Derive término a término: $$f'(x) = 4 \cdot 3x^{2} - 5 \cdot 2x^{1} + 2 \cdot 1x^{0} - 0 = 12x^{2} - 10x + 2$$ Respuesta: $$f'(x) = 12x^{2} - 10x + 2$$. 4. Problema: Determine la ecuación de la recta tangente a $$f(x) = x^2 + 3x$$ en $$x = 1$$ Fórmula: La pendiente de la tangente es $$f'(x)$$ y la ecuación es $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$. Paso 1: Derive $$f(x)$$: $$f'(x) = 2x + 3$$ Paso 2: Calcule la pendiente en $$x=1$$: $$f'(1) = 2(1) + 3 = 5$$ Paso 3: Calcule $$f(1)$$: $$f(1) = 1^2 + 3(1) = 4$$ Paso 4: Escriba la ecuación de la recta tangente: $$y - 4 = 5(x - 1)$$ Respuesta: $$y = 5x - 1$$. 5. Problema: Encuentre la derivada usando la regla del producto para $$f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)$$ Fórmula: $$\frac{d}{dx}[u v] = u' v + u v'$$ Paso 1: Defina $$u = x^2 + 1$$ y $$v = x - 3$$. Paso 2: Derive $$u$$ y $$v$$: $$u' = 2x$$ $$v' = 1$$ Paso 3: Aplique la regla del producto: $$f'(x) = 2x(x - 3) + (x^2 + 1)(1) = 2x^2 - 6x + x^2 + 1 = 3x^2 - 6x + 1$$ Respuesta: $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 1$$. 6. Problema: Calcule la derivada usando la regla del cociente para $$f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$$ Fórmula: $$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Paso 1: Defina $$u = 2x + 1$$ y $$v = x - 4$$. Paso 2: Derive $$u$$ y $$v$$: $$u' = 2$$ $$v' = 1$$ Paso 3: Aplique la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{2(x - 4) - (2x + 1)(1)}{(x - 4)^2} = \frac{2x - 8 - 2x - 1}{(x - 4)^2} = \frac{-9}{(x - 4)^2}$$ Respuesta: $$f'(x) = \frac{-9}{(x - 4)^2}$$. 7. Problema: Encuentre los puntos críticos de $$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$$ Fórmula: Los puntos críticos ocurren donde $$f'(x) = 0$$ o no existe. Paso 1: Derive $$f(x)$$: $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$ Paso 2: Resuelva $$f'(x) = 0$$: $$3x^2 - 12x + 9 = 0$$ Divida entre 3: $$\cancel{3}x^2 - \cancel{3}4x + \cancel{3}3 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$$ Paso 3: Factorice: $$(x - 3)(x - 1) = 0$$ Paso 4: Soluciones: $$x = 3, x = 1$$ Respuesta: Los puntos críticos son $$x = 1$$ y $$x = 3$$. 8. Problema: La ganancia está dada por $$G(x) = -2x^2 + 40x - 50$$. Parte a) ¿Cuántas unidades maximiza la ganancia? Fórmula: El máximo ocurre donde $$G'(x) = 0$$. Paso 1: Derive $$G(x)$$: $$G'(x) = -4x + 40$$ Paso 2: Resuelva $$G'(x) = 0$$: $$-4x + 40 = 0 \Rightarrow -4x = -40 \Rightarrow x = 10$$ Respuesta a): La empresa debe producir 10 unidades. Parte b) ¿Cuál es la ganancia máxima? Paso 3: Evalúe $$G(10)$$: $$G(10) = -2(10)^2 + 40(10) - 50 = -200 + 400 - 50 = 150$$ Respuesta b): La ganancia máxima es 150. 9. Problema: Calcule la derivada usando la regla de la cadena para $$f(x) = (3x^2 + 1)^4$$ Fórmula: $$\frac{d}{dx} [g(x)]^n = n[g(x)]^{n-1} g'(x)$$ Paso 1: Defina $$g(x) = 3x^2 + 1$$ y $$n = 4$$. Paso 2: Derive $$g(x)$$: $$g'(x) = 6x$$ Paso 3: Aplique la regla de la cadena: $$f'(x) = 4(3x^2 + 1)^3 (6x) = 24x(3x^2 + 1)^3$$ Respuesta: $$f'(x) = 24x(3x^2 + 1)^3$$. 10. Problema: Determine la pendiente de la recta tangente a $$f(x) = x^3 - 2x + 1$$ cuando $$x = 2$$ Fórmula: La pendiente es $$f'(x)$$. Paso 1: Derive $$f(x)$$: $$f'(x) = 3x^2 - 2$$ Paso 2: Evalúe en $$x = 2$$: $$f'(2) = 3(2)^2 - 2 = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10$$ Respuesta: La pendiente es 10.