1. **Problema:** Calcular el límite $$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2+1}{3x-2}$$. 2. **Fórmula y reglas:** Para límites de funciones racionales, si el denominador no se anula en el punto, se puede evaluar directamente sustituyendo el valor de $x$. 3. **Evaluación:** Sustituimos $x=2$: $$\frac{2(2)^2+1}{3(2)-2} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{6 - 2} = \frac{8 + 1}{4} = \frac{9}{4}$$ 4. **Respuesta:** $$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2+1}{3x-2} = \frac{9}{4}$$ --- 1. **Problema:** Calcular el límite $$\lim_{x \to 2} \left(\frac{x^2 - 2}{x^3 - 3x + 5}\right)^2$$. 2. **Fórmula y reglas:** Para límites de potencias, se calcula el límite de la base y luego se eleva al exponente. 3. **Evaluación:** Primero evaluamos la base: $$\frac{2^2 - 2}{2^3 - 3 \cdot 2 + 5} = \frac{4 - 2}{8 - 6 + 5} = \frac{2}{7}$$ Luego elevamos al cuadrado: $$\left(\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{4}{49}$$ 4. **Respuesta:** $$\lim_{x \to 2} \left(\frac{x^2 - 2}{x^3 - 3x + 5}\right)^2 = \frac{4}{49}$$ --- Dado que $$\lim_{x \to 2} f(x) = 3$$ y $$\lim_{x \to 2} g(x) = 4$$: 1. **Límite de suma:** $$\lim_{x \to 2} [f(x) + g(x)] = 3 + 4 = 7$$ 2. **Límite de diferencia:** $$\lim_{x \to 2} [f(x) - g(x)] = 3 - 4 = -1$$ 3. **Límite de constante por función:** $$\lim_{x \to 2} [3f(x)] = 3 \cdot 3 = 9$$ 4. **Límite de cociente:** $$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{3}{4}$$ --- Evaluar los siguientes límites: 1. $$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 6x + 9}{x^4 - 80}$$ Factorizamos el numerador: $$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$$ Evaluamos el denominador en $x=3$: $$3^4 - 80 = 81 - 80 = 1$$ Entonces: $$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)^2}{1} = (3 - 3)^2 = 0$$ 2. $$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 8x + 16}{x + 4}$$ Factorizamos el numerador: $$x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$$ Sustituimos: $$\frac{(3 + 4)^2}{3 + 4} = \frac{7^2}{7} = \frac{49}{7} = 7$$