1. **Problema:** Calcular el límite de la función dada en cada caso. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - Para límites de polinomios, se puede evaluar directamente sustituyendo el valor de la variable. - Para límites de funciones racionales, si la sustitución directa da una forma indeterminada, se debe factorizar y simplificar. - Para límites en infinito, se analizan los términos de mayor grado. - Para límites con raíces, racionalizar o simplificar la expresión. --- ### a) $$\lim_{x \to 2} (5x^5 - 3x^3 + x - 2)$$ 3. Sustituimos directamente $x=2$: $$5(2)^5 - 3(2)^3 + 2 - 2 = 5 \times 32 - 3 \times 8 + 2 - 2 = 160 - 24 + 0 = 136$$ --- ### b) $$\lim_{t \to 1} \frac{t-1}{t+3}$$ 4. Sustituimos $t=1$: $$\frac{1-1}{1+3} = \frac{0}{4} = 0$$ --- ### c) $$\lim_{x \to 4} \frac{3x^2 - 8x - 16}{2x^2 - 9x + 4}$$ 5. Evaluamos directamente: $$\frac{3(4)^2 - 8(4) - 16}{2(4)^2 - 9(4) + 4} = \frac{3 \times 16 - 32 - 16}{2 \times 16 - 36 + 4} = \frac{48 - 32 - 16}{32 - 36 + 4} = \frac{0}{0}$$ 6. Forma indeterminada $\frac{0}{0}$, factorizamos numerador y denominador: Numerador: $$3x^2 - 8x - 16 = (3x + 4)(x - 4)$$ Denominador: $$2x^2 - 9x + 4 = (2x - 1)(x - 4)$$ 7. Simplificamos: $$\frac{(3x + 4)\cancel{(x - 4)}}{(2x - 1)\cancel{(x - 4)}} = \frac{3x + 4}{2x - 1}$$ 8. Evaluamos el límite sustituyendo $x=4$: $$\frac{3(4) + 4}{2(4) - 1} = \frac{12 + 4}{8 - 1} = \frac{16}{7}$$ --- ### d) $$\lim_{x \to 3} \frac{x^4 - 81}{x^2 - x - 6}$$ 9. Evaluamos directamente: $$\frac{3^4 - 81}{3^2 - 3 - 6} = \frac{81 - 81}{9 - 3 - 6} = \frac{0}{0}$$ 10. Factorizamos: Numerador (diferencia de cuadrados): $$x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)$$ Denominador: $$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$$ 11. Factorizamos $x^2 - 9$: $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$ 12. Entonces: $$\frac{(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)}{(x - 3)(x + 2)}$$ 13. Simplificamos: $$\frac{\cancel{(x - 3)}(x + 3)(x^2 + 9)}{\cancel{(x - 3)}(x + 2)} = \frac{(x + 3)(x^2 + 9)}{x + 2}$$ 14. Evaluamos en $x=3$: $$\frac{(3 + 3)(3^2 + 9)}{3 + 2} = \frac{6 \times (9 + 9)}{5} = \frac{6 \times 18}{5} = \frac{108}{5} = 21.6$$ --- ### e) $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{7 + x} - \sqrt{7}}{x}$$ 15. Sustituimos $x=0$: $$\frac{\sqrt{7 + 0} - \sqrt{7}}{0} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{7}}{0} = \frac{0}{0}$$ 16. Forma indeterminada, racionalizamos el numerador: Multiplicamos y dividimos por el conjugado: $$\frac{\sqrt{7 + x} - \sqrt{7}}{x} \times \frac{\sqrt{7 + x} + \sqrt{7}}{\sqrt{7 + x} + \sqrt{7}} = \frac{(7 + x) - 7}{x(\sqrt{7 + x} + \sqrt{7})} = \frac{x}{x(\sqrt{7 + x} + \sqrt{7})}$$ 17. Simplificamos: $$\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}(\sqrt{7 + x} + \sqrt{7})} = \frac{1}{\sqrt{7 + x} + \sqrt{7}}$$ 18. Evaluamos el límite sustituyendo $x=0$: $$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{7}} = \frac{1}{2\sqrt{7}}$$ --- ### f) $$\lim_{x \to \infty} \frac{3 - 4x - 2x^3}{5x^3 - 8x + 1}$$ 19. Para límites en infinito, dividimos numerador y denominador por $x^3$ (término de mayor grado): $$\frac{\frac{3}{x^3} - \frac{4x}{x^3} - \frac{2x^3}{x^3}}{\frac{5x^3}{x^3} - \frac{8x}{x^3} + \frac{1}{x^3}} = \frac{\frac{3}{x^3} - \frac{4}{x^2} - 2}{5 - \frac{8}{x^2} + \frac{1}{x^3}}$$ 20. Cuando $x \to \infty$, los términos con $\frac{1}{x^n} \to 0$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{3 - 4x - 2x^3}{5x^3 - 8x + 1} = \frac{0 - 0 - 2}{5 - 0 + 0} = \frac{-2}{5}$$ --- ### g) $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{3x^6 - x + 4}$$ 21. Dividimos numerador y denominador por $x^6$: $$\frac{\frac{2x}{x^6}}{\frac{3x^6}{x^6} - \frac{x}{x^6} + \frac{4}{x^6}} = \frac{\frac{2}{x^5}}{3 - \frac{1}{x^5} + \frac{4}{x^6}}$$ 22. Cuando $x \to \infty$, los términos con $\frac{1}{x^n} \to 0$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{3x^6 - x + 4} = \frac{0}{3 - 0 + 0} = 0$$ --- **Respuestas finales:** - a) 136 - b) 0 - c) $\frac{16}{7}$ - d) $\frac{108}{5}$ - e) $\frac{1}{2\sqrt{7}}$ - f) $-\frac{2}{5}$ - g) 0