1. Problema: Calcular el límite $$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^4 + x^5 - 2x}{x^5 - 7x - x^8}$$ - Sustitución ingenua: Al sustituir $x \to -\infty$, los términos dominantes son $x^5$ y $x^8$. - Observamos que el término de mayor grado en el denominador es $-x^8$ y en el numerador es $x^5$. - Esto genera una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. - Procedimiento: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^4 + x^5 - 2x}{x^5 - 7x - x^8} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^5(\frac{3x^4}{x^5} + 1 - \frac{2x}{x^5})}{x^8(\frac{x^5}{x^8} - \frac{7x}{x^8} - 1)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^5(\frac{3}{x} + 1 - \frac{2}{x^4})}{x^8(\frac{1}{x^3} - \frac{7}{x^7} - 1)}$$ - Simplificamos cancelando $x^5$ en numerador y $x^8$ en denominador: $$= \lim_{x \to -\infty} \frac{\cancel{x^5}(\frac{3}{x} + 1 - \frac{2}{x^4})}{\cancel{x^8}(\frac{1}{x^3} - \frac{7}{x^7} - 1)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{3}{x} + 1 - \frac{2}{x^4}}{x^{3}(\frac{1}{x^3} - \frac{7}{x^7} - 1)}$$ - Como $x \to -\infty$, los términos con potencias negativas de $x$ tienden a 0: $$= \lim_{x \to -\infty} \frac{0 + 1 - 0}{x^{3}(0 - 0 - 1)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-x^{3}}$$ - Finalmente, como $x^{3} \to -\infty$, $-x^{3} \to \infty$, entonces: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-x^{3}} = 0$$ 2. Problema: Calcular el límite $$\lim_{x \to 5} \frac{x + 4}{x^2 - 4x - 5}$$ - Sustitución ingenua: $$\frac{5 + 4}{5^2 - 4 \cdot 5 - 5} = \frac{9}{25 - 20 - 5} = \frac{9}{0}$$ - Esto indica una indeterminación de tipo división por cero, pero no es $\frac{0}{0}$ sino una división por cero con numerador distinto de cero, por lo que el límite tiende a infinito o menos infinito. - Factorizamos el denominador: $$x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)$$ - Al acercarnos a $x \to 5$, el denominador se acerca a 0 y el numerador a 9. - Analizamos el signo del límite por la izquierda y derecha: Para $x \to 5^-$, $(x - 5) < 0$, $(x + 1) > 0$ entonces denominador negativo, numerador positivo, límite $-\infty$. Para $x \to 5^+$, $(x - 5) > 0$, $(x + 1) > 0$ entonces denominador positivo, numerador positivo, límite $+\infty$. - Por lo tanto, el límite no existe porque los límites laterales son diferentes. 3. Problema: Calcular el límite $$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - x - 6}{x^2 + 4x + 4}$$ - Sustitución ingenua: $$\frac{(-2)^2 - (-2) - 6}{(-2)^2 + 4(-2) + 4} = \frac{4 + 2 - 6}{4 - 8 + 4} = \frac{0}{0}$$ - Indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. - Factorizamos numerador y denominador: Numerador: $$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$$ Denominador: $$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$$ - Simplificamos: $$\frac{(x - 3)(x + 2)}{(x + 2)^2} = \frac{x - 3}{\cancel{x + 2}} \cdot \frac{\cancel{x + 2}}{x + 2} = \frac{x - 3}{x + 2}$$ - Evaluamos el límite simplificado: $$\lim_{x \to -2} \frac{x - 3}{x + 2} = \frac{-2 - 3}{-2 + 2} = \frac{-5}{0}$$ - Esto indica que el límite tiende a infinito o menos infinito. - Analizamos el signo: Para $x \to -2^-$, denominador negativo, numerador negativo, límite $+\infty$. Para $x \to -2^+$, denominador positivo, numerador negativo, límite $-\infty$. - Por lo tanto, el límite no existe porque los límites laterales son diferentes. **Respuestas finales:** - a) $$0$$ - b) No existe (límites laterales $-\infty$ y $+\infty$) - c) No existe (límites laterales $+\infty$ y $-\infty$)