1. **Planteamiento del problema:** Calcula el límite cuando $x$ tiende a infinito para las funciones dadas: $$f(x) = \frac{3x^2}{5x^2 + 5}$$ $$f(x) = \frac{x^3 + 10}{-2x}$$ 2. **Fórmulas y reglas importantes:** Para límites en el infinito de funciones racionales, se comparan los grados de los polinomios en numerador y denominador. - Si los grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales. - Si el grado del numerador es mayor, el límite tiende a infinito o menos infinito según el signo. - Si el grado del denominador es mayor, el límite es cero. 3. **Primer límite:** $$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{5x^2 + 5}$$ Dividimos numerador y denominador por $x^2$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{3\cancel{x^2}}{5\cancel{x^2} + \frac{5}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{5 + \frac{5}{x^2}}$$ Cuando $x \to \infty$, $\frac{5}{x^2} \to 0$, entonces: $$= \frac{3}{5 + 0} = \frac{3}{5}$$ 4. **Segundo límite:** $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 10}{-2x}$$ Dividimos numerador y denominador por $x$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x} + \frac{10}{x}}{\cancel{-2x}/x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + \frac{10}{x}}{-2}$$ Cuando $x \to \infty$, $\frac{10}{x} \to 0$, entonces: $$= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{-2} = -\infty$$ 5. **Conclusión:** - El primer límite es $\frac{3}{5}$. - El segundo límite tiende a $-\infty$. **Respuesta final:** $$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{5x^2 + 5} = \frac{3}{5}$$ $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 10}{-2x} = -\infty$$