1. Vamos calcular o limite a) $$\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^3$$ 2. Como $n \to +\infty$, o termo $\frac{1}{n^2} \to 0$. Portanto, temos uma forma do tipo $(1 + 0)^3$ que é determinada. 3. Logo, $$\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^3 = 1^3 = 1$$ 4. Agora o limite b) $$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2n + 5}{2n + 1}\right)^{n + 4}$$ 5. Primeiro, simplificamos a fração dentro do parênteses dividindo numerador e denominador por $n$: $$\frac{2n + 5}{2n + 1} = \frac{2 + \frac{5}{n}}{2 + \frac{1}{n}}$$ 6. Quando $n \to +\infty$, $\frac{5}{n} \to 0$ e $\frac{1}{n} \to 0$, então a fração tende a $\frac{2}{2} = 1$. 7. Temos uma forma do tipo $1^{\infty}$, que é uma indeterminação. Para resolver, usamos o fato que $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a_n}{n}\right)^n = e^{\lim_{n \to \infty} a_n}$$ 8. Reescrevemos a base: $$\frac{2n + 5}{2n + 1} = 1 + \frac{4}{2n + 1}$$ 9. Então, $$\left(\frac{2n + 5}{2n + 1}\right)^{n + 4} = \left(1 + \frac{4}{2n + 1}\right)^{n + 4}$$ 10. Para facilitar, aproximamos $n + 4 \approx n$ para o limite e escrevemos: $$\left(1 + \frac{4}{2n + 1}\right)^n$$ 11. Note que $\frac{4}{2n + 1} \approx \frac{4}{2n} = \frac{2}{n}$ para $n$ grande. 12. Logo, $$\left(1 + \frac{2}{n}\right)^n \to e^2$$ 13. Portanto, $$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2n + 5}{2n + 1}\right)^{n + 4} = e^2$$ 14. Finalmente, o limite c) $$\lim_{n \to +\infty} \sqrt{2^n + 3^n}$$ 15. Para grandes $n$, $3^n$ cresce mais rápido que $2^n$, então $3^n$ domina a soma. 16. Podemos fatorar $3^n$ dentro da raiz: $$\sqrt{2^n + 3^n} = \sqrt{3^n \left(\left(\frac{2}{3}\right)^n + 1\right)} = \sqrt{3^n} \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^n + 1}$$ 17. Como $\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$ para $n \to +\infty$, temos: $$\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^n + 1} \to \sqrt{1} = 1$$ 18. E $$\sqrt{3^n} = (3^n)^{1/2} = 3^{n/2}$$ que cresce para infinito. 19. Portanto, $$\lim_{n \to +\infty} \sqrt{2^n + 3^n} = +\infty$$