1. **Problema:** Calcular los límites laterales de la función $f(x) = \frac{3}{x+3}$ en $x_0=1$ y $x_0=3$ mediante tabulación. 2. **Fórmula y reglas:** Para límites laterales, evaluamos $f(x)$ acercándonos a $x_0$ desde la izquierda ($x \to x_0^-$) y desde la derecha ($x \to x_0^+$). 3. **Cálculo para $x_0=1$:** - Tabulación cerca de 1: - $x=0.9 \Rightarrow f(0.9) = \frac{3}{0.9+3} = \frac{3}{3.9} \approx 0.769$ - $x=0.99 \Rightarrow f(0.99) = \frac{3}{3.99} \approx 0.752$ - $x=1.01 \Rightarrow f(1.01) = \frac{3}{4.01} \approx 0.748$ - $x=1.1 \Rightarrow f(1.1) = \frac{3}{4.1} \approx 0.732$ - Por lo tanto, $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0.75, \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0.75$$ 4. **Cálculo para $x_0=3$:** - Tabulación cerca de 3: - $x=2.9 \Rightarrow f(2.9) = \frac{3}{5.9} \approx 0.508$ - $x=2.99 \Rightarrow f(2.99) = \frac{3}{5.99} \approx 0.501$ - $x=3.01 \Rightarrow f(3.01) = \frac{3}{6.01} \approx 0.499$ - $x=3.1 \Rightarrow f(3.1) = \frac{3}{6.1} \approx 0.492$ - Por lo tanto, $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = 0.5, \quad \lim_{x \to 3^+} f(x) = 0.5$$ 5. **Problema:** Calcular los límites laterales de $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ en $x_0=2$ y $x_0=-1$. 6. **Cálculo para $x_0=2$:** - Tabulación cerca de 2: - $x=1.9 \Rightarrow f(1.9) = \frac{1}{1.9^2 -1} = \frac{1}{3.61 -1} = \frac{1}{2.61} \approx 0.383$ - $x=1.99 \Rightarrow f(1.99) = \frac{1}{3.9601 -1} = \frac{1}{2.9601} \approx 0.338$ - $x=2.01 \Rightarrow f(2.01) = \frac{1}{4.0401 -1} = \frac{1}{3.0401} \approx 0.329$ - $x=2.1 \Rightarrow f(2.1) = \frac{1}{4.41 -1} = \frac{1}{3.41} \approx 0.293$ - Por lo tanto, $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 0.35, \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = 0.33$$ 7. **Cálculo para $x_0=-1$:** - Tabulación cerca de $-1$: - $x=-1.1 \Rightarrow f(-1.1) = \frac{1}{1.21 -1} = \frac{1}{0.21} \approx 4.76$ - $x=-1.01 \Rightarrow f(-1.01) = \frac{1}{1.0201 -1} = \frac{1}{0.0201} \approx 49.75$ - $x=-0.99 \Rightarrow f(-0.99) = \frac{1}{0.9801 -1} = \frac{1}{-0.0199} \approx -50.25$ - $x=-0.9 \Rightarrow f(-0.9) = \frac{1}{0.81 -1} = \frac{1}{-0.19} \approx -5.26$ - Por lo tanto, $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$$ 8. **Problema:** Calcular los límites laterales de $f(x) = \frac{2}{(x-1)^2} - 2$ en $x_0=2$ y $x_0=1$. 9. **Cálculo para $x_0=2$:** - Tabulación cerca de 2: - $x=1.9 \Rightarrow f(1.9) = \frac{2}{(1.9-1)^2} - 2 = \frac{2}{0.9^2} - 2 = \frac{2}{0.81} - 2 \approx 2.47 - 2 = 0.47$ - $x=1.99 \Rightarrow f(1.99) = \frac{2}{0.99^2} - 2 = \frac{2}{0.9801} - 2 \approx 2.04 - 2 = 0.04$ - $x=2.01 \Rightarrow f(2.01) = \frac{2}{1.01^2} - 2 = \frac{2}{1.0201} - 2 \approx 1.96 - 2 = -0.04$ - $x=2.1 \Rightarrow f(2.1) = \frac{2}{1.1^2} - 2 = \frac{2}{1.21} - 2 \approx 1.65 - 2 = -0.35$ - Por lo tanto, $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 0.05, \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = -0.05$$ 10. **Cálculo para $x_0=1$:** - Tabulación cerca de 1: - $x=0.9 \Rightarrow f(0.9) = \frac{2}{(0.9-1)^2} - 2 = \frac{2}{(-0.1)^2} - 2 = \frac{2}{0.01} - 2 = 200 - 2 = 198$ - $x=0.99 \Rightarrow f(0.99) = \frac{2}{(-0.01)^2} - 2 = \frac{2}{0.0001} - 2 = 20000 - 2 = 19998$ - $x=1.01 \Rightarrow f(1.01) = \frac{2}{(0.01)^2} - 2 = 20000 - 2 = 19998$ - $x=1.1 \Rightarrow f(1.1) = \frac{2}{0.1^2} - 2 = 200 - 2 = 198$ - Por lo tanto, $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$$ **Respuesta final:** - Para $f(x) = \frac{3}{x+3}$: $$\lim_{x \to 1^-} = \lim_{x \to 1^+} = 0.75, \quad \lim_{x \to 3^-} = \lim_{x \to 3^+} = 0.5$$ - Para $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$: $$\lim_{x \to 2^-} = 0.35, \quad \lim_{x \to 2^+} = 0.33, \quad \lim_{x \to -1^-} = +\infty, \quad \lim_{x \to -1^+} = -\infty$$ - Para $f(x) = \frac{2}{(x-1)^2} - 2$: $$\lim_{x \to 2^-} = 0.05, \quad \lim_{x \to 2^+} = -0.05, \quad \lim_{x \to 1^-} = +\infty, \quad \lim_{x \to 1^+} = +\infty$$ Se recomienda visualizar las gráficas en software para confirmar estos resultados.