1. Planteamos el primer límite: $$\lim_{x \to 3} \frac{x + 5\sqrt{x + 1} - 13}{\sqrt{x + 1} - 2}$$\n 2. Evaluamos directamente en $x=3$ para verificar si es una forma indeterminada:\n$$\frac{3 + 5\sqrt{3 + 1} - 13}{\sqrt{3 + 1} - 2} = \frac{3 + 5\sqrt{4} - 13}{\sqrt{4} - 2} = \frac{3 + 5 \times 2 - 13}{2 - 2} = \frac{3 + 10 - 13}{0} = \frac{0}{0}$$\nEs una forma indeterminada $\frac{0}{0}$, por lo que debemos simplificar.\n 3. Sea $y = \sqrt{x+1}$, entonces $x = y^2 - 1$. Reescribimos el numerador:\n$$x + 5\sqrt{x+1} - 13 = (y^2 - 1) + 5y - 13 = y^2 + 5y - 14$$\n 4. Factorizamos el numerador:\n$$y^2 + 5y - 14 = (y + 7)(y - 2)$$\n 5. El denominador es $\sqrt{x+1} - 2 = y - 2$. Entonces la expresión original es:\n$$\frac{(y + 7)(y - 2)}{y - 2}$$\n 6. Cancelamos el factor común $y - 2$:\n$$\frac{\cancel{(y - 2)}(y + 7)}{\cancel{(y - 2)}} = y + 7$$\n 7. Sustituimos $y = \sqrt{x+1}$ y evaluamos en $x=3$:\n$$\sqrt{3 + 1} + 7 = 2 + 7 = 9$$\n 8. Por lo tanto, el primer límite es $$\boxed{9}$$.\n ---\n 9. Planteamos el segundo límite: $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} (\sqrt{x + 3} - \sqrt{x + 2})$$\n 10. Para simplificar, multiplicamos y dividimos por el conjugado:\n$$\sqrt{x} \times \frac{(\sqrt{x + 3} - \sqrt{x + 2})(\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 2})}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 2}} = \sqrt{x} \times \frac{(x + 3) - (x + 2)}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 2}} = \sqrt{x} \times \frac{1}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 2}}$$\n 11. Simplificamos la expresión:\n$$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 2}}$$\n 12. Dividimos numerador y denominador por $\sqrt{x}$ para analizar el límite cuando $x \to +\infty$:\n$$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 2}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + \sqrt{x}\sqrt{1 + \frac{2}{x}}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}})}$$\n 13. Cancelamos $\sqrt{x}$:\n$$\frac{\cancel{\sqrt{x}}}{\cancel{\sqrt{x}}(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}})} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}$$\n 14. Evaluamos el límite cuando $x \to +\infty$:\n$$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 + 0}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$\n 15. Por lo tanto, el segundo límite es $$\boxed{\frac{1}{2}}$$.